Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 97 / 94
↖ ↑ ↗
← S 64.168107°
E 92.812500°		 ← 136.269 km → S 64.168107°
E 95.625000°		 →
↑
133.293 km
↓
↑
133.293 km
↓
S 65.366837°
E 92.812500°		 ← 130.350 km →
17 769.9 km²		 S 65.366837°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76171875 y=0.73828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76171875 × 27)
    floor (0.76171875 × 128)
    floor (97.5)     		tx = 97
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73828125 × 27)
    floor (0.73828125 × 128)
    floor (94.5)     		ty = 94
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 97 / 94 ti = "7/97/94"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/97/94.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97 ÷ 27
    97 ÷ 128     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94 ÷ 27
    94 ÷ 128     		y = 0.734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734375 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47262155632813))-π/2
    2×atan(0.229323511974136)-π/2
    2×0.2254257933358-π/2
    0.4508515866716-1.57079632675     		φ = -1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97 KachelY 94 1.61988371 -1.11994474 92.812500 -64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 98 KachelY 94 1.66897110 -1.11994474 95.625000 -64.168107
    Unten links KachelX 97 KachelY + 1 95 1.61988371 -1.14086653 92.812500 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 98 KachelY + 1 95 1.66897110 -1.14086653 95.625000 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11994474--1.14086653) × R
    0.0209217900000001 × 6371000     		dl = 133292.72409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11994474--1.14086653) × R
    0.0209217900000001 × 6371000     		dr = 133292.72409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.66897110) × cos(-1.11994474) × R
    0.04908739 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 136269.036819457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.66897110) × cos(-1.14086653) × R
    0.04908739 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 130350.451211726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11994474)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.416806989093035)×R²
    abs(1.66897110-1.61988371)×0.0189251960688719×R²
    0.04908739×0.0189251960688719×6371000²
    0.04908739×0.0189251960688719×40589641000000     		ar = 17769867119.7474m²