Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9728 / 3584
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 33.750000°		 ← 811.05 m → N 70.612614°
E 33.771973°		 →
↑
811.16 m
↓
↑
811.16 m
↓
N 70.605319°
E 33.750000°		 ← 811.35 m →
658 011 m²		 N 70.605319°
E 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593780517578125 y=0.218780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593780517578125 × 214)
    floor (0.593780517578125 × 16384)
    floor (9728.5)     		tx = 9728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218780517578125 × 214)
    floor (0.218780517578125 × 16384)
    floor (3584.5)     		ty = 3584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9728 / 3584 ti = "14/9728/3584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9728/3584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9728 ÷ 214
    9728 ÷ 16384     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3584 ÷ 214
    3584 ÷ 16384     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9728 KachelY 3584 0.58904862 1.23242261 33.750000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 9729 KachelY 3584 0.58943212 1.23242261 33.771973 70.612614
    Unten links KachelX 9728 KachelY + 1 3585 0.58904862 1.23229529 33.750000 70.605319
    Unten rechts KachelX + 1 9729 KachelY + 1 3585 0.58943212 1.23229529 33.771973 70.605319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23229529) × R
    0.000127320000000042 × 6371000     		dl = 811.155720000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23229529) × R
    0.000127320000000042 × 6371000     		dr = 811.155720000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(1.23242261) × R
    0.000383499999999981 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 811.054765830324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(1.23229529) × R
    0.000383499999999981 × 0.332073563460497 × 6371000     		du = 811.348198021379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23229529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.332073563460497)×R²
    abs(0.58943212-0.58904862)×0.000120097725680668×R²
    0.000383499999999981×0.000120097725680668×6371000²
    0.000383499999999981×0.000120097725680668×40589641000000     		ar = 658010.723025802m²