Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9728 / 9729
↖ ↑ ↗
← S 31.970804°
E 33.750000°		 ← 2 072.68 m → S 31.970804°
E 33.771973°		 →
↑
2 072.49 m
↓
↑
2 072.49 m
↓
S 31.989442°
E 33.750000°		 ← 2 072.26 m →
4 295 159 m²		 S 31.989442°
E 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593780517578125 y=0.593841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593780517578125 × 214)
    floor (0.593780517578125 × 16384)
    floor (9728.5)     		tx = 9728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593841552734375 × 214)
    floor (0.593841552734375 × 16384)
    floor (9729.5)     		ty = 9729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9728 / 9729 ti = "14/9728/9729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9728/9729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9728 ÷ 214
    9728 ÷ 16384     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9729 ÷ 214
    9729 ÷ 16384     		y = 0.59381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58943211772821))-π/2
    2×atan(0.554642166771778)-π/2
    2×0.506400266856793-π/2
    1.01280053371359-1.57079632675     		φ = -0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9728 KachelY 9729 0.58904862 -0.55799579 33.750000 -31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 9729 KachelY 9729 0.58943212 -0.55799579 33.771973 -31.970804
    Unten links KachelX 9728 KachelY + 1 9730 0.58904862 -0.55832109 33.750000 -31.989442
    Unten rechts KachelX + 1 9729 KachelY + 1 9730 0.58943212 -0.55832109 33.771973 -31.989442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55799579--0.55832109) × R
    0.000325299999999973 × 6371000     		dl = 2072.48629999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55799579--0.55832109) × R
    0.000325299999999973 × 6371000     		dr = 2072.48629999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(-0.55799579) × R
    0.000383499999999981 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 2072.67717292781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(-0.55832109) × R
    0.000383499999999981 × 0.848145730318861 × 6371000     		du = 2072.25622775477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55799579)-sin(-0.55832109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.848145730318861)×R²
    abs(0.58943212-0.58904862)×0.00017228702051153×R²
    0.000383499999999981×0.00017228702051153×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017228702051153×40589641000000     		ar = 4295158.88154035m²