Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9729 / 3583
↖ ↑ ↗
← N 70.619907°
E 33.771973°		 ← 810.74 m → N 70.619907°
E 33.793945°		 →
↑
810.90 m
↓
↑
810.90 m
↓
N 70.612614°
E 33.771973°		 ← 811.03 m →
657 549 m²		 N 70.612614°
E 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593841552734375 y=0.218719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593841552734375 × 214)
    floor (0.593841552734375 × 16384)
    floor (9729.5)     		tx = 9729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218719482421875 × 214)
    floor (0.218719482421875 × 16384)
    floor (3583.5)     		ty = 3583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9729 / 3583 ti = "14/9729/3583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9729/3583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9729 ÷ 214
    9729 ÷ 16384     		x = 0.59381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3583 ÷ 214
    3583 ÷ 16384     		y = 0.21868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21868896484375 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76752936279071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58943212} λ = 0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76752936279071))-π/2
    2×atan(5.85636651585652)-π/2
    2×1.40167310910393-π/2
    2.80334621820786-1.57079632675     		φ = 1.23254989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23254989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.619907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9729 KachelY 3583 0.58943212 1.23254989 33.771973 70.619907
    Oben rechts KachelX + 1 9730 KachelY 3583 0.58981561 1.23254989 33.793945 70.619907
    Unten links KachelX 9729 KachelY + 1 3584 0.58943212 1.23242261 33.771973 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 9730 KachelY + 1 3584 0.58981561 1.23242261 33.793945 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23254989-1.23242261) × R
    0.000127280000000063 × 6371000     		dl = 810.900880000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23254989-1.23242261) × R
    0.000127280000000063 × 6371000     		dr = 810.900880000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58943212-0.58981561) × cos(1.23254989) × R
    0.000383490000000042 × 0.331833400361564 × 6371000     		do = 810.740271579452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58943212-0.58981561) × cos(1.23242261) × R
    0.000383490000000042 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 811.033617075151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23254989)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331833400361564-0.331953465734817)×R²
    abs(0.58981561-0.58943212)×0.00012006537325282×R²
    0.000383490000000042×0.00012006537325282×6371000²
    0.000383490000000042×0.00012006537325282×40589641000000     		ar = 657548.937623039m²