Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9744 / 3600
↖ ↑ ↗
← N 70.495574°
E 34.101563°		 ← 815.74 m → N 70.495574°
E 34.123535°		 →
↑
815.93 m
↓
↑
815.93 m
↓
N 70.488236°
E 34.101563°		 ← 816.03 m →
665 710 m²		 N 70.488236°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594757080078125 y=0.219757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594757080078125 × 214)
    floor (0.594757080078125 × 16384)
    floor (9744.5)     		tx = 9744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219757080078125 × 214)
    floor (0.219757080078125 × 16384)
    floor (3600.5)     		ty = 3600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9744 / 3600 ti = "14/9744/3600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9744/3600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9744 ÷ 214
    9744 ÷ 16384     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3600 ÷ 214
    3600 ÷ 16384     		y = 0.2197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2197265625 × 2 - 1) × π
    0.560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76100994444238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76100994444238))-π/2
    2×atan(5.81831059855149)-π/2
    2×1.40058809657457-π/2
    2.80117619314914-1.57079632675     		φ = 1.23037987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23037987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.495574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9744 KachelY 3600 0.59518455 1.23037987 34.101563 70.495574
    Oben rechts KachelX + 1 9745 KachelY 3600 0.59556804 1.23037987 34.123535 70.495574
    Unten links KachelX 9744 KachelY + 1 3601 0.59518455 1.23025180 34.101563 70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 9745 KachelY + 1 3601 0.59556804 1.23025180 34.123535 70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23037987-1.23025180) × R
    0.000128069999999925 × 6371000     		dl = 815.93396999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23037987-1.23025180) × R
    0.000128069999999925 × 6371000     		dr = 815.93396999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(1.23037987) × R
    0.000383489999999931 × 0.333879679796468 × 6371000     		do = 815.739771759048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(1.23025180) × R
    0.000383489999999931 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 816.034711894828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23037987)-sin(1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333879679796468-0.334000397850807)×R²
    abs(0.59556804-0.59518455)×0.000120718054338331×R²
    0.000383489999999931×0.000120718054338331×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120718054338331×40589641000000     		ar = 665710.117205493m²