Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9744 / 9744
↖ ↑ ↗
← S 32.249975°
E 34.101563°		 ← 2 066.30 m → S 32.249975°
E 34.123535°		 →
↑
2 066.12 m
↓
↑
2 066.12 m
↓
S 32.268556°
E 34.101563°		 ← 2 065.87 m →
4 268 767 m²		 S 32.268556°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594757080078125 y=0.594757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594757080078125 × 214)
    floor (0.594757080078125 × 16384)
    floor (9744.5)     		tx = 9744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594757080078125 × 214)
    floor (0.594757080078125 × 16384)
    floor (9744.5)     		ty = 9744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9744 / 9744 ti = "14/9744/9744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9744/9744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9744 ÷ 214
    9744 ÷ 16384     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9744 ÷ 214
    9744 ÷ 16384     		y = 0.5947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595184545682617))-π/2
    2×atan(0.551460786769341)-π/2
    2×0.503964044435201-π/2
    1.0079280888704-1.57079632675     		φ = -0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9744 KachelY 9744 0.59518455 -0.56286824 34.101563 -32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 9745 KachelY 9744 0.59556804 -0.56286824 34.123535 -32.249975
    Unten links KachelX 9744 KachelY + 1 9745 0.59518455 -0.56319254 34.101563 -32.268556
    Unten rechts KachelX + 1 9745 KachelY + 1 9745 0.59556804 -0.56319254 34.123535 -32.268556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56286824--0.56319254) × R
    0.000324299999999944 × 6371000     		dl = 2066.11529999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56286824--0.56319254) × R
    0.000324299999999944 × 6371000     		dr = 2066.11529999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(-0.56286824) × R
    0.000383489999999931 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 2066.2953008571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59556804) × cos(-0.56319254) × R
    0.000383489999999931 × 0.845554962969445 × 6371000     		du = 2065.87239128448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56286824)-sin(-0.56319254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.845554962969445)×R²
    abs(0.59556804-0.59518455)×0.000173095535582757×R²
    0.000383489999999931×0.000173095535582757×6371000²
    0.000383489999999931×0.000173095535582757×40589641000000     		ar = 4268767.48286103m²