Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9792 / 3648
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
E 35.156250°		 ← 830 m → N 70.140365°
E 35.178223°		 →
↑
830.21 m
↓
↑
830.21 m
↓
N 70.132898°
E 35.156250°		 ← 830.30 m →
689 196 m²		 N 70.132898°
E 35.178223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597686767578125 y=0.222686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597686767578125 × 214)
    floor (0.597686767578125 × 16384)
    floor (9792.5)     		tx = 9792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222686767578125 × 214)
    floor (0.222686767578125 × 16384)
    floor (3648.5)     		ty = 3648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9792 / 3648 ti = "14/9792/3648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9792/3648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9792 ÷ 214
    9792 ÷ 16384     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3648 ÷ 214
    3648 ÷ 16384     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9792 KachelY 3648 0.61359232 1.22418030 35.156250 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 9793 KachelY 3648 0.61397581 1.22418030 35.178223 70.140365
    Unten links KachelX 9792 KachelY + 1 3649 0.61359232 1.22404999 35.156250 70.132898
    Unten rechts KachelX + 1 9793 KachelY + 1 3649 0.61397581 1.22404999 35.178223 70.132898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22404999) × R
    0.000130310000000078 × 6371000     		dl = 830.205010000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22404999) × R
    0.000130310000000078 × 6371000     		dr = 830.205010000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(1.22418030) × R
    0.000383490000000042 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 830.001691964194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61397581) × cos(1.22404999) × R
    0.000383490000000042 × 0.33983959540437 × 6371000     		du = 830.301125719665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22404999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.33983959540437)×R²
    abs(0.61397581-0.61359232)×0.000122557278506963×R²
    0.000383490000000042×0.000122557278506963×6371000²
    0.000383490000000042×0.000122557278506963×40589641000000     		ar = 689195.859655205m²