Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 98 / 162
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.187500°		 ← 114.232 km → S 43.068888°
W 40.781250°		 →
↑
113.274 km
↓
↑
113.274 km
↓
S 44.087585°
W 42.187500°		 ← 112.315 km →
12 831.3 km²		 S 44.087585°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384765625 y=0.634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384765625 × 28)
    floor (0.384765625 × 256)
    floor (98.5)     		tx = 98
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634765625 × 28)
    floor (0.634765625 × 256)
    floor (162.5)     		ty = 162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 98 / 162 ti = "8/98/162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/98/162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98 ÷ 28
    98 ÷ 256     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 162 ÷ 28
    162 ÷ 256     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98 KachelY 162 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 99 KachelY 162 -0.71176709 -0.75169390 -40.781250 -43.068888
    Unten links KachelX 98 KachelY + 1 163 -0.73631078 -0.76947352 -42.187500 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 99 KachelY + 1 163 -0.71176709 -0.76947352 -40.781250 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.76947352) × R
    0.01777962 × 6371000     		dl = 113273.95902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.76947352) × R
    0.01777962 × 6371000     		dr = 113273.95902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.71176709) × cos(-0.75169390) × R
    0.02454369 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 114231.903819788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.71176709) × cos(-0.76947352) × R
    0.02454369 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 112315.440630337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.71176709--0.73631078)×0.0122561204354351×R²
    0.02454369×0.0122561204354351×6371000²
    0.02454369×0.0122561204354351×40589641000000     		ar = 12831295321.0704m²