Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 98 / 166
↖ ↑ ↗
← S 47.040182°
W 42.187500°		 ← 106.562 km → S 47.040182°
W 40.781250°		 →
↑
105.606 km
↓
↑
105.606 km
↓
S 47.989922°
W 42.187500°		 ← 104.651 km →
11 153 km²		 S 47.989922°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384765625 y=0.650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384765625 × 28)
    floor (0.384765625 × 256)
    floor (98.5)     		tx = 98
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650390625 × 28)
    floor (0.650390625 × 256)
    floor (166.5)     		ty = 166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 98 / 166 ti = "8/98/166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/98/166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98 ÷ 28
    98 ÷ 256     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 166 ÷ 28
    166 ÷ 256     		y = 0.6484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6484375 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932660319007813))-π/2
    2×atan(0.393505466585958)-π/2
    2×0.37489513382417-π/2
    0.749790267648339-1.57079632675     		φ = -0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98 KachelY 166 -0.73631078 -0.82100606 -42.187500 -47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 99 KachelY 166 -0.71176709 -0.82100606 -40.781250 -47.040182
    Unten links KachelX 98 KachelY + 1 167 -0.73631078 -0.83758214 -42.187500 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 99 KachelY + 1 167 -0.71176709 -0.83758214 -40.781250 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82100606--0.83758214) × R
    0.01657608 × 6371000     		dl = 105606.20568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82100606--0.83758214) × R
    0.01657608 × 6371000     		dr = 105606.20568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.71176709) × cos(-0.82100606) × R
    0.02454369 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 106562.388224619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.71176709) × cos(-0.83758214) × R
    0.02454369 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 104650.952378335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82100606)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.71176709--0.73631078)×0.0122239696883354×R²
    0.02454369×0.0122239696883354×6371000²
    0.02454369×0.0122239696883354×40589641000000     		ar = 11152975118.1352m²