Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 98 / 226
↖ ↑ ↗
← N 20.632784°
W111.093750°		 ← 73.169 km → N 20.632784°
W110.390625°		 →
↑
73.326 km
↓
↑
73.326 km
↓
N 19.973349°
W111.093750°		 ← 73.481 km →
5 376.69 km²		 N 19.973349°
W110.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1923828125 y=0.4423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1923828125 × 29)
    floor (0.1923828125 × 512)
    floor (98.5)     		tx = 98
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4423828125 × 29)
    floor (0.4423828125 × 512)
    floor (226.5)     		ty = 226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 98 / 226 ti = "9/98/226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/98/226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98 ÷ 29
    98 ÷ 512     		x = 0.19140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 226 ÷ 29
    226 ÷ 512     		y = 0.44140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19140625 × 2 - 1) × π
    -0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44140625 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93895172} λ = -1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368155389082031))-π/2
    2×atan(1.44506656909631)-π/2
    2×0.965453172903975-π/2
    1.93090634580795-1.57079632675     		φ = 0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98 KachelY 226 -1.93895172 0.36011002 -111.093750 20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 99 KachelY 226 -1.92667987 0.36011002 -110.390625 20.632784
    Unten links KachelX 98 KachelY + 1 227 -1.93895172 0.34860070 -111.093750 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 99 KachelY + 1 227 -1.92667987 0.34860070 -110.390625 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36011002-0.34860070) × R
    0.01150932 × 6371000     		dl = 73325.8777199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36011002-0.34860070) × R
    0.01150932 × 6371000     		dr = 73325.8777199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93895172--1.92667987) × cos(0.36011002) × R
    0.0122718499999999 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 73169.0857755879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93895172--1.92667987) × cos(0.34860070) × R
    0.0122718499999999 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 73481.3172460883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36011002)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.939851609928014)×R²
    abs(-1.92667987--1.93895172)×0.00399354912538119×R²
    0.0122718499999999×0.00399354912538119×6371000²
    0.0122718499999999×0.00399354912538119×40589641000000     		ar = 5376694111.6434m²