Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98288 / 32816
↖ ↑ ↗
← N 66.460663°
E 89.956055°		 ← 121.96 m → N 66.460663°
E 89.958801°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
N 66.459567°
E 89.956055°		 ← 121.96 m →
14 872 m²		 N 66.459567°
E 89.958801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749881744384766 y=0.250370025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749881744384766 × 217)
    floor (0.749881744384766 × 131072)
    floor (98288.5)     		tx = 98288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250370025634766 × 217)
    floor (0.250370025634766 × 131072)
    floor (32816.5)     		ty = 32816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98288 / 32816 ti = "17/98288/32816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98288/32816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98288 ÷ 217
    98288 ÷ 131072     		x = 0.7498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32816 ÷ 217
    32816 ÷ 131072     		y = 0.2503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7498779296875 × 2 - 1) × π
    0.499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57002934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2503662109375 × 2 - 1) × π
    0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57002934} λ = 1.57002934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56849535556824))-π/2
    2×atan(4.79942133562435)-π/2
    2×1.36537686392616-π/2
    2.73075372785233-1.57079632675     		φ = 1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57002934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98288 KachelY 32816 1.57002934 1.15995740 89.956055 66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 98289 KachelY 32816 1.57007727 1.15995740 89.958801 66.460663
    Unten links KachelX 98288 KachelY + 1 32817 1.57002934 1.15993826 89.956055 66.459567
    Unten rechts KachelX + 1 98289 KachelY + 1 32817 1.57007727 1.15993826 89.958801 66.459567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15995740-1.15993826) × R
    1.91399999998065e-05 × 6371000     		dl = 121.940939998767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15995740-1.15993826) × R
    1.91399999998065e-05 × 6371000     		dr = 121.940939998767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57002934-1.57007727) × cos(1.15995740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 121.955055410335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57002934-1.57007727) × cos(1.15993826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399396132069066 × 6371000     		du = 121.960413662833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15995740)-sin(1.15993826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399396132069066)×R²
    abs(1.57007727-1.57002934)×1.75472127235676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75472127235676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75472127235676e-05×40589641000000     		ar = 14871.6407898955m²