Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98303 / 32769
↖ ↑ ↗
← N 66.512166°
E 89.997253°		 ← 121.73 m → N 66.512166°
E 90.000000°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 66.511071°
E 89.997253°		 ← 121.73 m →
14 821 m²		 N 66.511071°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749996185302734 y=0.250011444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749996185302734 × 217)
    floor (0.749996185302734 × 131072)
    floor (98303.5)     		tx = 98303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250011444091797 × 217)
    floor (0.250011444091797 × 131072)
    floor (32769.5)     		ty = 32769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98303 / 32769 ti = "17/98303/32769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98303/32769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98303 ÷ 217
    98303 ÷ 131072     		x = 0.749992370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32769 ÷ 217
    32769 ÷ 131072     		y = 0.250007629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749992370605469 × 2 - 1) × π
    0.499984741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.57074839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250007629394531 × 2 - 1) × π
    0.499984741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.57074838985038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57074839} λ = 1.57074839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57074838985038))-π/2
    2×atan(4.81024678690507)-π/2
    2×1.36582630635326-π/2
    2.73165261270652-1.57079632675     		φ = 1.16085629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57074839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.997253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16085629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.512166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98303 KachelY 32769 1.57074839 1.16085629 89.997253 66.512166
    Oben rechts KachelX + 1 98304 KachelY 32769 1.57079633 1.16085629 90.000000 66.512166
    Unten links KachelX 98303 KachelY + 1 32770 1.57074839 1.16083718 89.997253 66.511071
    Unten rechts KachelX + 1 98304 KachelY + 1 32770 1.57079633 1.16083718 90.000000 66.511071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16085629-1.16083718) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16085629-1.16083718) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57074839-1.57079633) × cos(1.16085629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398554333763836 × 6371000     		do = 121.728752319947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57074839-1.57079633) × cos(1.16083718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398571860326718 × 6371000     		du = 121.734105383385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16085629)-sin(1.16083718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398554333763836-0.398571860326718)×R²
    abs(1.57079633-1.57074839)×1.75265628821752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75265628821752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75265628821752e-05×40589641000000     		ar = 14820.7783341141m²