Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98306 / 32766
↖ ↑ ↗
← N 66.515450°
E 90.005493°		 ← 121.71 m → N 66.515450°
E 90.008240°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
N 66.514355°
E 90.005493°		 ← 121.72 m →
14 811 m²		 N 66.514355°
E 90.008240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750019073486328 y=0.249988555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750019073486328 × 217)
    floor (0.750019073486328 × 131072)
    floor (98306.5)     		tx = 98306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249988555908203 × 217)
    floor (0.249988555908203 × 131072)
    floor (32766.5)     		ty = 32766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98306 / 32766 ti = "17/98306/32766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98306/32766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98306 ÷ 217
    98306 ÷ 131072     		x = 0.750015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32766 ÷ 217
    32766 ÷ 131072     		y = 0.249984741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750015258789062 × 2 - 1) × π
    0.500030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57089220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249984741210938 × 2 - 1) × π
    0.500030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57089220054924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57089220} λ = 1.57089220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57089220054924))-π/2
    2×atan(4.81093860160117)-π/2
    2×1.36585496265229-π/2
    2.73170992530459-1.57079632675     		φ = 1.16091360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57089220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16091360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.515450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98306 KachelY 32766 1.57089220 1.16091360 90.005493 66.515450
    Oben rechts KachelX + 1 98307 KachelY 32766 1.57094014 1.16091360 90.008240 66.515450
    Unten links KachelX 98306 KachelY + 1 32767 1.57089220 1.16089450 90.005493 66.514355
    Unten rechts KachelX + 1 98307 KachelY + 1 32767 1.57094014 1.16089450 90.008240 66.514355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16091360-1.16089450) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dl = 121.686100000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16091360-1.16089450) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dr = 121.686100000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57089220-1.57094014) × cos(1.16091360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398501771545273 × 6371000     		do = 121.712698465446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57089220-1.57094014) × cos(1.16089450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398519289373031 × 6371000     		du = 121.718048860952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16091360)-sin(1.16089450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398501771545273-0.398519289373031)×R²
    abs(1.57094014-1.57089220)×1.75178277578847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75178277578847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75178277578847e-05×40589641000000     		ar = 14811.0691314415m²