Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98307 / 32771
↖ ↑ ↗
← N 66.509976°
E 90.008240°		 ← 121.71 m → N 66.509976°
E 90.010986°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
N 66.508882°
E 90.008240°		 ← 121.72 m →
14 811 m²		 N 66.508882°
E 90.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750026702880859 y=0.250026702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750026702880859 × 217)
    floor (0.750026702880859 × 131072)
    floor (98307.5)     		tx = 98307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250026702880859 × 217)
    floor (0.250026702880859 × 131072)
    floor (32771.5)     		ty = 32771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98307 / 32771 ti = "17/98307/32771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98307/32771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98307 ÷ 217
    98307 ÷ 131072     		x = 0.750022888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32771 ÷ 217
    32771 ÷ 131072     		y = 0.250022888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750022888183594 × 2 - 1) × π
    0.500045776367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.57094014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250022888183594 × 2 - 1) × π
    0.499954223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.57065251605114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57094014} λ = 1.57094014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57065251605114))-π/2
    2×atan(4.809785632377)-π/2
    2×1.365807200054-π/2
    2.73161440010799-1.57079632675     		φ = 1.16081807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57094014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.008240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16081807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.509976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98307 KachelY 32771 1.57094014 1.16081807 90.008240 66.509976
    Oben rechts KachelX + 1 98308 KachelY 32771 1.57098807 1.16081807 90.010986 66.509976
    Unten links KachelX 98307 KachelY + 1 32772 1.57094014 1.16079897 90.008240 66.508882
    Unten rechts KachelX + 1 98308 KachelY + 1 32772 1.57098807 1.16079897 90.010986 66.508882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16081807-1.16079897) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dl = 121.686099998902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16081807-1.16079897) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dr = 121.686099998902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57094014-1.57098807) × cos(1.16081807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398589386744045 × 6371000     		do = 121.714064272691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57094014-1.57098807) × cos(1.16079897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398606903844591 × 6371000     		du = 121.719413330074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16081807)-sin(1.16079897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398589386744045-0.398606903844591)×R²
    abs(1.57098807-1.57094014)×1.75171005462604e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75171005462604e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75171005462604e-05×40589641000000     		ar = 14811.2352496295m²