Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98308 / 32773
↖ ↑ ↗
← N 66.507787°
E 90.010986°		 ← 121.75 m → N 66.507787°
E 90.013733°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 66.506692°
E 90.010986°		 ← 121.76 m →
14 823 m²		 N 66.506692°
E 90.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750034332275391 y=0.250041961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750034332275391 × 217)
    floor (0.750034332275391 × 131072)
    floor (98308.5)     		tx = 98308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250041961669922 × 217)
    floor (0.250041961669922 × 131072)
    floor (32773.5)     		ty = 32773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98308 / 32773 ti = "17/98308/32773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98308/32773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98308 ÷ 217
    98308 ÷ 131072     		x = 0.750030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32773 ÷ 217
    32773 ÷ 131072     		y = 0.250038146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    0.50006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57098807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250038146972656 × 2 - 1) × π
    0.499923706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.5705566422519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57098807} λ = 1.57098807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5705566422519))-π/2
    2×atan(4.80932452205945)-π/2
    2×1.36578809207467-π/2
    2.73157618414933-1.57079632675     		φ = 1.16077986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57098807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16077986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.507787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98308 KachelY 32773 1.57098807 1.16077986 90.010986 66.507787
    Oben rechts KachelX + 1 98309 KachelY 32773 1.57103601 1.16077986 90.013733 66.507787
    Unten links KachelX 98308 KachelY + 1 32774 1.57098807 1.16076075 90.010986 66.506692
    Unten rechts KachelX + 1 98309 KachelY + 1 32774 1.57103601 1.16076075 90.013733 66.506692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16077986-1.16076075) × R
    1.91100000002109e-05 × 6371000     		dl = 121.749810001344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16077986-1.16076075) × R
    1.91100000002109e-05 × 6371000     		dr = 121.749810001344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57098807-1.57103601) × cos(1.16077986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398624429970864 × 6371000     		do = 121.75016150585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57098807-1.57103601) × cos(1.16076075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398641955951563 × 6371000     		du = 121.755514391474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16077986)-sin(1.16076075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398624429970864-0.398641955951563)×R²
    abs(1.57103601-1.57098807)×1.75259806989847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75259806989847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75259806989847e-05×40589641000000     		ar = 14823.3848877739m²