Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98308 / 98308
↖ ↑ ↗
← S 66.517638°
E 90.010986°		 ← 121.70 m → S 66.517638°
E 90.013733°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
S 66.518733°
E 90.010986°		 ← 121.70 m →
14 809 m²		 S 66.518733°
E 90.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750034332275391 y=0.750034332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750034332275391 × 217)
    floor (0.750034332275391 × 131072)
    floor (98308.5)     		tx = 98308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750034332275391 × 217)
    floor (0.750034332275391 × 131072)
    floor (98308.5)     		ty = 98308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98308 / 98308 ti = "17/98308/98308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98308/98308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98308 ÷ 217
    98308 ÷ 131072     		x = 0.750030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98308 ÷ 217
    98308 ÷ 131072     		y = 0.750030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    0.50006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57098807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.50006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57098807434848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57098807} λ = 1.57098807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57098807434848))-π/2
    2×atan(0.20783971977188)-π/2
    2×0.20492226204298-π/2
    0.409844524085959-1.57079632675     		φ = -1.16095180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57098807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16095180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.517638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98308 KachelY 98308 1.57098807 -1.16095180 90.010986 -66.517638
    Oben rechts KachelX + 1 98309 KachelY 98308 1.57103601 -1.16095180 90.013733 -66.517638
    Unten links KachelX 98308 KachelY + 1 98309 1.57098807 -1.16097090 90.010986 -66.518733
    Unten rechts KachelX + 1 98309 KachelY + 1 98309 1.57103601 -1.16097090 90.013733 -66.518733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16095180--1.16097090) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dl = 121.686099998902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16095180--1.16097090) × R
    1.90999999998276e-05 × 6371000     		dr = 121.686099998902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57098807-1.57103601) × cos(-1.16095180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398466735453631 × 6371000     		do = 121.70199754123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57098807-1.57103601) × cos(-1.16097090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39844921718976 × 6371000     		du = 121.696647012523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16095180)-sin(-1.16097090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398466735453631-0.39844921718976)×R²
    abs(1.57103601-1.57098807)×1.75182638708637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75182638708637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75182638708637e-05×40589641000000     		ar = 14809.1159009971m²