Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98310 / 32774
↖ ↑ ↗
← N 66.506692°
E 90.016480°		 ← 121.76 m → N 66.506692°
E 90.019226°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 66.505597°
E 90.016480°		 ← 121.76 m →
14 824 m²		 N 66.505597°
E 90.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750049591064453 y=0.250049591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750049591064453 × 217)
    floor (0.750049591064453 × 131072)
    floor (98310.5)     		tx = 98310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250049591064453 × 217)
    floor (0.250049591064453 × 131072)
    floor (32774.5)     		ty = 32774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98310 / 32774 ti = "17/98310/32774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98310/32774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98310 ÷ 217
    98310 ÷ 131072     		x = 0.750045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32774 ÷ 217
    32774 ÷ 131072     		y = 0.250045776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750045776367188 × 2 - 1) × π
    0.500091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57108395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250045776367188 × 2 - 1) × π
    0.499908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57050870535228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57108395} λ = 1.57108395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57050870535228))-π/2
    2×atan(4.80909398347829)-π/2
    2×1.36577853745494-π/2
    2.73155707490988-1.57079632675     		φ = 1.16076075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57108395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.016480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16076075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.506692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98310 KachelY 32774 1.57108395 1.16076075 90.016480 66.506692
    Oben rechts KachelX + 1 98311 KachelY 32774 1.57113189 1.16076075 90.019226 66.506692
    Unten links KachelX 98310 KachelY + 1 32775 1.57108395 1.16074164 90.016480 66.505597
    Unten rechts KachelX + 1 98311 KachelY + 1 32775 1.57113189 1.16074164 90.019226 66.505597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16076075-1.16074164) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16076075-1.16074164) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57108395-1.57113189) × cos(1.16076075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398641955951563 × 6371000     		do = 121.755514391474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57108395-1.57113189) × cos(1.16074164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398659481786681 × 6371000     		du = 121.760867232634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16076075)-sin(1.16074164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398641955951563-0.398659481786681)×R²
    abs(1.57113189-1.57108395)×1.75258351178265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75258351178265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75258351178265e-05×40589641000000     		ar = 14824.0365976424m²