Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98312 / 32776
↖ ↑ ↗
← N 66.504502°
E 90.021973°		 ← 121.77 m → N 66.504502°
E 90.024719°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 66.503407°
E 90.021973°		 ← 121.77 m →
14 825 m²		 N 66.503407°
E 90.024719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750064849853516 y=0.250064849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750064849853516 × 217)
    floor (0.750064849853516 × 131072)
    floor (98312.5)     		tx = 98312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250064849853516 × 217)
    floor (0.250064849853516 × 131072)
    floor (32776.5)     		ty = 32776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98312 / 32776 ti = "17/98312/32776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98312/32776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98312 ÷ 217
    98312 ÷ 131072     		x = 0.75006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32776 ÷ 217
    32776 ÷ 131072     		y = 0.25006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75006103515625 × 2 - 1) × π
    0.5001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57117982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25006103515625 × 2 - 1) × π
    0.4998779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57041283155304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57117982} λ = 1.57117982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57041283155304))-π/2
    2×atan(4.80863293946856)-π/2
    2×1.36575942695529-π/2
    2.73151885391058-1.57079632675     		φ = 1.16072253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57117982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16072253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.504502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98312 KachelY 32776 1.57117982 1.16072253 90.021973 66.504502
    Oben rechts KachelX + 1 98313 KachelY 32776 1.57122776 1.16072253 90.024719 66.504502
    Unten links KachelX 98312 KachelY + 1 32777 1.57117982 1.16070342 90.021973 66.503407
    Unten rechts KachelX + 1 98313 KachelY + 1 32777 1.57122776 1.16070342 90.024719 66.503407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16072253-1.16070342) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16072253-1.16070342) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57117982-1.57122776) × cos(1.16072253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398677007476212 × 6371000     		do = 121.766220029328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57117982-1.57122776) × cos(1.16070342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398694533020149 × 6371000     		du = 121.771572781553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16072253)-sin(1.16070342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398677007476212-0.398694533020149)×R²
    abs(1.57122776-1.57117982)×1.75255439368582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75255439368582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75255439368582e-05×40589641000000     		ar = 14825.3400016087m²