Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98321 / 32785
↖ ↑ ↗
← N 66.494645°
E 90.046692°		 ← 121.81 m → N 66.494645°
E 90.049438°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
N 66.493549°
E 90.046692°		 ← 121.82 m →
14 839 m²		 N 66.493549°
E 90.049438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750133514404297 y=0.250133514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750133514404297 × 217)
    floor (0.750133514404297 × 131072)
    floor (98321.5)     		tx = 98321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250133514404297 × 217)
    floor (0.250133514404297 × 131072)
    floor (32785.5)     		ty = 32785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98321 / 32785 ti = "17/98321/32785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98321/32785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98321 ÷ 217
    98321 ÷ 131072     		x = 0.750129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32785 ÷ 217
    32785 ÷ 131072     		y = 0.250129699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750129699707031 × 2 - 1) × π
    0.500259399414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.57161125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250129699707031 × 2 - 1) × π
    0.499740600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.56998139945646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57161125} λ = 1.57161125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56998139945646))-π/2
    2×atan(4.80655878833766)-π/2
    2×1.3656734089106-π/2
    2.7313468178212-1.57079632675     		φ = 1.16055049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57161125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.046692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16055049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.494645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98321 KachelY 32785 1.57161125 1.16055049 90.046692 66.494645
    Oben rechts KachelX + 1 98322 KachelY 32785 1.57165919 1.16055049 90.049438 66.494645
    Unten links KachelX 98321 KachelY + 1 32786 1.57161125 1.16053137 90.046692 66.493549
    Unten rechts KachelX + 1 98322 KachelY + 1 32786 1.57165919 1.16053137 90.049438 66.493549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16055049-1.16053137) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16055049-1.16053137) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57161125-1.57165919) × cos(1.16055049) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398834777980643 × 6371000     		do = 121.814407202958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57161125-1.57165919) × cos(1.16053137) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39885231138372 × 6371000     		du = 121.819762355567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16055049)-sin(1.16053137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398834777980643-0.39885231138372)×R²
    abs(1.57165919-1.57161125)×1.75334030764751e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75334030764751e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75334030764751e-05×40589641000000     		ar = 14838.9678936658m²