Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98324 / 32788
N 66.491359°
E 90.054931°
← 121.83 m → N 66.491359°
E 90.057678°

121.81 m

121.81 m
N 66.490263°
E 90.054931°
← 121.84 m →
14 841 m²
N 66.490263°
E 90.057678°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750156402587891 y=0.250156402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750156402587891 × 217)
    floor (0.750156402587891 × 131072)
    floor (98324.5)
    tx = 98324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250156402587891 × 217)
    floor (0.250156402587891 × 131072)
    floor (32788.5)
    ty = 32788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98324 / 32788 ti = "17/98324/32788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98324/32788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98324 ÷ 217
    98324 ÷ 131072
    x = 0.750152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32788 ÷ 217
    32788 ÷ 131072
    y = 0.250152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.750152587890625 × 2 - 1) × π
    0.50030517578125 × 3.1415926535
    Λ = 1.57175506
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.250152587890625 × 2 - 1) × π
    0.49969482421875 × 3.1415926535
    Φ = 1.5698375887576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57175506} λ = 1.57175506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5698375887576))-π/2
    2×atan(4.80586760346028)-π/2
    2×1.36564472866551-π/2
    2.73128945733102-1.57079632675
    φ = 1.16049313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57175506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.054931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16049313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.491359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98324 KachelY 32788 1.57175506 1.16049313 90.054931 66.491359
    Oben rechts KachelX + 1 98325 KachelY 32788 1.57180300 1.16049313 90.057678 66.491359
    Unten links KachelX 98324 KachelY + 1 32789 1.57175506 1.16047401 90.054931 66.490263
    Unten rechts KachelX + 1 98325 KachelY + 1 32789 1.57180300 1.16047401 90.057678 66.490263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.16049313-1.16047401) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000
    dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.16049313-1.16047401) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000
    dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.57175506-1.57180300) × cos(1.16049313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398887377752435 × 6371000
    do = 121.830472526617m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.57175506-1.57180300) × cos(1.16047401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398904910718062 × 6371000
    du = 121.835827545618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.16049313)-sin(1.16047401))×
    abs(λ12)×abs(0.398887377752435-0.398904910718062)×
    abs(1.57180300-1.57175506)×1.75329656266765e-05×
    4.79399999999686e-05×1.75329656266765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75329656266765e-05×40589641000000
    ar = 14840.9248592811m²