Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98336 / 98336
↖ ↑ ↗
← S 66.548264°
E 90.087891°		 ← 121.53 m → S 66.548264°
E 90.090637°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.549357°
E 90.087891°		 ← 121.52 m →
14 772 m²		 S 66.549357°
E 90.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750247955322266 y=0.750247955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750247955322266 × 217)
    floor (0.750247955322266 × 131072)
    floor (98336.5)     		tx = 98336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750247955322266 × 217)
    floor (0.750247955322266 × 131072)
    floor (98336.5)     		ty = 98336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98336 / 98336 ti = "17/98336/98336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98336/98336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98336 ÷ 217
    98336 ÷ 131072     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98336 ÷ 217
    98336 ÷ 131072     		y = 0.750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.50048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57233030753784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57233030753784))-π/2
    2×atan(0.207560937539171)-π/2
    2×0.204655008956599-π/2
    0.409310017913198-1.57079632675     		φ = -1.16148631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16148631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.548264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98336 KachelY 98336 1.57233031 -1.16148631 90.087891 -66.548264
    Oben rechts KachelX + 1 98337 KachelY 98336 1.57237824 -1.16148631 90.090637 -66.548264
    Unten links KachelX 98336 KachelY + 1 98337 1.57233031 -1.16150539 90.087891 -66.549357
    Unten rechts KachelX + 1 98337 KachelY + 1 98337 1.57237824 -1.16150539 90.090637 -66.549357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16148631--1.16150539) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dl = 121.558680001091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16148631--1.16150539) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dr = 121.558680001091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57237824) × cos(-1.16148631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397976435185511 × 6371000     		do = 121.526892140486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57237824) × cos(-1.16150539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397958931204294 × 6371000     		du = 121.521547089248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16148631)-sin(-1.16150539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397976435185511-0.397958931204294)×R²
    abs(1.57237824-1.57233031)×1.75039812174149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75039812174149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75039812174149e-05×40589641000000     		ar = 14772.3237248977m²