Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98344 / 32808
↖ ↑ ↗
← N 66.469437°
E 90.109863°		 ← 121.94 m → N 66.469437°
E 90.112610°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
N 66.468341°
E 90.109863°		 ← 121.94 m →
14 862 m²		 N 66.468341°
E 90.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750308990478516 y=0.250308990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750308990478516 × 217)
    floor (0.750308990478516 × 131072)
    floor (98344.5)     		tx = 98344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250308990478516 × 217)
    floor (0.250308990478516 × 131072)
    floor (32808.5)     		ty = 32808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98344 / 32808 ti = "17/98344/32808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98344/32808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98344 ÷ 217
    98344 ÷ 131072     		x = 0.75030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32808 ÷ 217
    32808 ÷ 131072     		y = 0.25030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75030517578125 × 2 - 1) × π
    0.5006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57271380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25030517578125 × 2 - 1) × π
    0.4993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5688788507652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57271380} λ = 1.57271380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5688788507652))-π/2
    2×atan(4.80126224362188)-π/2
    2×1.36545343034969-π/2
    2.73090686069938-1.57079632675     		φ = 1.16011053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57271380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16011053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.469437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98344 KachelY 32808 1.57271380 1.16011053 90.109863 66.469437
    Oben rechts KachelX + 1 98345 KachelY 32808 1.57276174 1.16011053 90.112610 66.469437
    Unten links KachelX 98344 KachelY + 1 32809 1.57271380 1.16009140 90.109863 66.468341
    Unten rechts KachelX + 1 98345 KachelY + 1 32809 1.57276174 1.16009140 90.112610 66.468341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16011053-1.16009140) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dl = 121.877230000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16011053-1.16009140) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dr = 121.877230000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57271380-1.57276174) × cos(1.16011053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399238192719525 × 6371000     		do = 121.937620447544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57271380-1.57276174) × cos(1.16009140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399255731934215 × 6371000     		du = 121.942977375169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16011053)-sin(1.16009140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399238192719525-0.399255731934215)×R²
    abs(1.57276174-1.57271380)×1.75392146897213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75392146897213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75392146897213e-05×40589641000000     		ar = 14861.7458572424m²