Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98368 / 32833
↖ ↑ ↗
← N 66.442009°
E 90.175781°		 ← 122.07 m → N 66.442009°
E 90.178528°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
N 66.440911°
E 90.175781°		 ← 122.08 m →
14 894 m²		 N 66.440911°
E 90.178528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750492095947266 y=0.250499725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750492095947266 × 217)
    floor (0.750492095947266 × 131072)
    floor (98368.5)     		tx = 98368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250499725341797 × 217)
    floor (0.250499725341797 × 131072)
    floor (32833.5)     		ty = 32833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98368 / 32833 ti = "17/98368/32833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98368/32833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98368 ÷ 217
    98368 ÷ 131072     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32833 ÷ 217
    32833 ÷ 131072     		y = 0.250495910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250495910644531 × 2 - 1) × π
    0.499008178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.5676804282747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5676804282747))-π/2
    2×atan(4.79551174941537)-π/2
    2×1.36521407086989-π/2
    2.73042814173978-1.57079632675     		φ = 1.15963181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15963181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.442009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98368 KachelY 32833 1.57386429 1.15963181 90.175781 66.442009
    Oben rechts KachelX + 1 98369 KachelY 32833 1.57391223 1.15963181 90.178528 66.442009
    Unten links KachelX 98368 KachelY + 1 32834 1.57386429 1.15961266 90.175781 66.440911
    Unten rechts KachelX + 1 98369 KachelY + 1 32834 1.57391223 1.15961266 90.178528 66.440911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15963181-1.15961266) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15963181-1.15961266) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57391223) × cos(1.15963181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399677060067258 × 6371000     		do = 122.071661831987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57391223) × cos(1.15961266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		du = 122.07702324164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15963181)-sin(1.15961266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399677060067258-0.399694613956636)×R²
    abs(1.57391223-1.57386429)×1.75538893781302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75538893781302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75538893781302e-05×40589641000000     		ar = 14893.6374356126m²