Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98431 / 98431
↖ ↑ ↗
← S 66.651889°
E 90.348816°		 ← 121.05 m → S 66.651889°
E 90.351563°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.652977°
E 90.348816°		 ← 121.04 m →
14 652 m²		 S 66.652977°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750972747802734 y=0.750972747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750972747802734 × 217)
    floor (0.750972747802734 × 131072)
    floor (98431.5)     		tx = 98431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750972747802734 × 217)
    floor (0.750972747802734 × 131072)
    floor (98431.5)     		ty = 98431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98431 / 98431 ti = "17/98431/98431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98431/98431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98431 ÷ 217
    98431 ÷ 131072     		x = 0.750968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98431 ÷ 217
    98431 ÷ 131072     		y = 0.750968933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750968933105469 × 2 - 1) × π
    0.501937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.57688431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750968933105469 × 2 - 1) × π
    -0.501937866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57688431300175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57688431} λ = 1.57688431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57688431300175))-π/2
    2×atan(0.206617852931635)-π/2
    2×0.203750706342887-π/2
    0.407501412685774-1.57079632675     		φ = -1.16329491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57688431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.348816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16329491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.651889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98431 KachelY 98431 1.57688431 -1.16329491 90.348816 -66.651889
    Oben rechts KachelX + 1 98432 KachelY 98431 1.57693225 -1.16329491 90.351563 -66.651889
    Unten links KachelX 98431 KachelY + 1 98432 1.57688431 -1.16331391 90.348816 -66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 98432 KachelY + 1 98432 1.57693225 -1.16331391 90.351563 -66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16329491--1.16331391) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16329491--1.16331391) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57688431-1.57693225) × cos(-1.16329491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396316583441726 × 6371000     		do = 121.045285771881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57688431-1.57693225) × cos(-1.16331391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 121.039957853202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16329491)-sin(-1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396316583441726-0.396299139205757)×R²
    abs(1.57693225-1.57688431)×1.74442359684446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74442359684446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74442359684446e-05×40589641000000     		ar = 14652.0883281967m²