Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98432 / 33152
↖ ↑ ↗
← N 66.089364°
E 90.351563°		 ← 123.79 m → N 66.089364°
E 90.354309°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
N 66.088251°
E 90.351563°		 ← 123.80 m →
15 324 m²		 N 66.088251°
E 90.354309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750980377197266 y=0.252933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750980377197266 × 217)
    floor (0.750980377197266 × 131072)
    floor (98432.5)     		tx = 98432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252933502197266 × 217)
    floor (0.252933502197266 × 131072)
    floor (33152.5)     		ty = 33152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98432 / 33152 ti = "17/98432/33152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98432/33152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98432 ÷ 217
    98432 ÷ 131072     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33152 ÷ 217
    33152 ÷ 131072     		y = 0.2529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2529296875 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5523885572959))-π/2
    2×atan(4.72273724973074)-π/2
    2×1.36213666692326-π/2
    2.72427333384653-1.57079632675     		φ = 1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98432 KachelY 33152 1.57693225 1.15347701 90.351563 66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 98433 KachelY 33152 1.57698019 1.15347701 90.354309 66.089364
    Unten links KachelX 98432 KachelY + 1 33153 1.57693225 1.15345758 90.351563 66.088251
    Unten rechts KachelX + 1 98433 KachelY + 1 33153 1.57698019 1.15345758 90.354309 66.088251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15347701-1.15345758) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15347701-1.15345758) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57698019) × cos(1.15347701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 123.792500284189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57698019) × cos(1.15345758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405329051125212 × 6371000     		du = 123.797925383335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15347701)-sin(1.15345758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.405329051125212)×R²
    abs(1.57698019-1.57693225)×1.77624163094081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77624163094081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77624163094081e-05×40589641000000     		ar = 15324.4274182264m²