Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98433 / 32895
↖ ↑ ↗
← N 66.373856°
E 90.354309°		 ← 122.38 m → N 66.373856°
E 90.357055°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 66.372755°
E 90.354309°		 ← 122.38 m →
14 978 m²		 N 66.372755°
E 90.357055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750988006591797 y=0.250972747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750988006591797 × 217)
    floor (0.750988006591797 × 131072)
    floor (98433.5)     		tx = 98433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250972747802734 × 217)
    floor (0.250972747802734 × 131072)
    floor (32895.5)     		ty = 32895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98433 / 32895 ti = "17/98433/32895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98433/32895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98433 ÷ 217
    98433 ÷ 131072     		x = 0.750984191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32895 ÷ 217
    32895 ÷ 131072     		y = 0.250968933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750984191894531 × 2 - 1) × π
    0.501968383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.57698019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250968933105469 × 2 - 1) × π
    0.498062133789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.56470834049825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57698019} λ = 1.57698019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56470834049825))-π/2
    2×atan(4.78128022670643)-π/2
    2×1.36461932357262-π/2
    2.72923864714525-1.57079632675     		φ = 1.15844232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57698019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.354309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15844232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.373856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98433 KachelY 32895 1.57698019 1.15844232 90.354309 66.373856
    Oben rechts KachelX + 1 98434 KachelY 32895 1.57702812 1.15844232 90.357055 66.373856
    Unten links KachelX 98433 KachelY + 1 32896 1.57698019 1.15842311 90.354309 66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 98434 KachelY + 1 32896 1.57702812 1.15842311 90.357055 66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15844232-1.15842311) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15844232-1.15842311) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57698019-1.57702812) × cos(1.15844232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400767130223208 × 6371000     		do = 122.379064442308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57698019-1.57702812) × cos(1.15842311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 122.384438735546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15844232)-sin(1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400767130223208-0.400784729966169)×R²
    abs(1.57702812-1.57698019)×1.75997429607833e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75997429607833e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75997429607833e-05×40589641000000     		ar = 14977.924417824m²