Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98448 / 98448
↖ ↑ ↗
← S 66.670387°
E 90.395508°		 ← 120.95 m → S 66.670387°
E 90.398255°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.671475°
E 90.395508°		 ← 120.95 m →
14 633 m²		 S 66.671475°
E 90.398255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751102447509766 y=0.751102447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751102447509766 × 217)
    floor (0.751102447509766 × 131072)
    floor (98448.5)     		tx = 98448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751102447509766 × 217)
    floor (0.751102447509766 × 131072)
    floor (98448.5)     		ty = 98448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98448 / 98448 ti = "17/98448/98448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98448/98448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98448 ÷ 217
    98448 ÷ 131072     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98448 ÷ 217
    98448 ÷ 131072     		y = 0.7510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57769924029529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57769924029529))-π/2
    2×atan(0.206449542993444)-π/2
    2×0.203589282142873-π/2
    0.407178564285747-1.57079632675     		φ = -1.16361776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16361776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.670387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98448 KachelY 98448 1.57769924 -1.16361776 90.395508 -66.670387
    Oben rechts KachelX + 1 98449 KachelY 98448 1.57774718 -1.16361776 90.398255 -66.670387
    Unten links KachelX 98448 KachelY + 1 98449 1.57769924 -1.16363675 90.395508 -66.671475
    Unten rechts KachelX + 1 98449 KachelY + 1 98449 1.57774718 -1.16363675 90.398255 -66.671475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16361776--1.16363675) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16361776--1.16363675) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57774718) × cos(-1.16361776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396020149714119 × 6371000     		do = 120.954747281266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57774718) × cos(-1.16363675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396002712230541 × 6371000     		du = 120.949421424941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16361776)-sin(-1.16363675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396020149714119-0.396002712230541)×R²
    abs(1.57774718-1.57769924)×1.7437483577798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7437483577798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7437483577798e-05×40589641000000     		ar = 14633.4230020236m²