Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98496 / 32704
↖ ↑ ↗
← N 66.583217°
E 90.527344°		 ← 121.38 m → N 66.583217°
E 90.530090°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
N 66.582126°
E 90.527344°		 ← 121.39 m →
14 732 m²		 N 66.582126°
E 90.530090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751468658447266 y=0.249515533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751468658447266 × 217)
    floor (0.751468658447266 × 131072)
    floor (98496.5)     		tx = 98496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249515533447266 × 217)
    floor (0.249515533447266 × 131072)
    floor (32704.5)     		ty = 32704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98496 / 32704 ti = "17/98496/32704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98496/32704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98496 ÷ 217
    98496 ÷ 131072     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32704 ÷ 217
    32704 ÷ 131072     		y = 0.24951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24951171875 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57386428832568))-π/2
    2×atan(4.82525840272422)-π/2
    2×1.36644634724365-π/2
    2.73289269448729-1.57079632675     		φ = 1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98496 KachelY 32704 1.58000021 1.16209637 90.527344 66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 98497 KachelY 32704 1.58004815 1.16209637 90.530090 66.583217
    Unten links KachelX 98496 KachelY + 1 32705 1.58000021 1.16207732 90.527344 66.582126
    Unten rechts KachelX + 1 98497 KachelY + 1 32705 1.58004815 1.16207732 90.530090 66.582126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16209637-1.16207732) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16209637-1.16207732) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58004815) × cos(1.16209637) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 121.38128809174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58004815) × cos(1.16207732) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397434175715773 × 6371000     		du = 121.386627219763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16209637)-sin(1.16207732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397434175715773)×R²
    abs(1.58004815-1.58000021)×1.74809366829676e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74809366829676e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74809366829676e-05×40589641000000     		ar = 14732.0735502959m²