Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9856 / 3712
↖ ↑ ↗
← N 69.657086°
E 36.562500°		 ← 849.35 m → N 69.657086°
E 36.584472°		 →
↑
849.51 m
↓
↑
849.51 m
↓
N 69.649446°
E 36.562500°		 ← 849.66 m →
721 664 m²		 N 69.649446°
E 36.584472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601593017578125 y=0.226593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601593017578125 × 214)
    floor (0.601593017578125 × 16384)
    floor (9856.5)     		tx = 9856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226593017578125 × 214)
    floor (0.226593017578125 × 16384)
    floor (3712.5)     		ty = 3712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9856 / 3712 ti = "14/9856/3712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9856/3712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9856 ÷ 214
    9856 ÷ 16384     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3712 ÷ 214
    3712 ÷ 16384     		y = 0.2265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2265625 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71805848238281))-π/2
    2×atan(5.57369652248446)-π/2
    2×1.39327091479381-π/2
    2.78654182958763-1.57079632675     		φ = 1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9856 KachelY 3712 0.63813601 1.21574550 36.562500 69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 9857 KachelY 3712 0.63851950 1.21574550 36.584472 69.657086
    Unten links KachelX 9856 KachelY + 1 3713 0.63813601 1.21561216 36.562500 69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 9857 KachelY + 1 3713 0.63851950 1.21561216 36.584472 69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21574550-1.21561216) × R
    0.000133339999999871 × 6371000     		dl = 849.509139999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21574550-1.21561216) × R
    0.000133339999999871 × 6371000     		dr = 849.509139999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.63851950) × cos(1.21574550) × R
    0.000383490000000042 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 849.354357778219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.63851950) × cos(1.21561216) × R
    0.000383490000000042 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 849.659809312569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21574550)-sin(1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.347763042688718)×R²
    abs(0.63851950-0.63813601)×0.0001250203361573×R²
    0.000383490000000042×0.0001250203361573×6371000²
    0.000383490000000042×0.0001250203361573×40589641000000     		ar = 721664.033035281m²