Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98561 / 33023
↖ ↑ ↗
← N 66.232564°
E 90.705872°		 ← 123.09 m → N 66.232564°
E 90.708618°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 66.231457°
E 90.705872°		 ← 123.10 m →
15 152 m²		 N 66.231457°
E 90.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751964569091797 y=0.251949310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751964569091797 × 217)
    floor (0.751964569091797 × 131072)
    floor (98561.5)     		tx = 98561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251949310302734 × 217)
    floor (0.251949310302734 × 131072)
    floor (33023.5)     		ty = 33023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98561 / 33023 ti = "17/98561/33023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98561/33023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98561 ÷ 217
    98561 ÷ 131072     		x = 0.751960754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33023 ÷ 217
    33023 ÷ 131072     		y = 0.251945495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751960754394531 × 2 - 1) × π
    0.503921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.58311611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251945495605469 × 2 - 1) × π
    0.496109008789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.55857241734689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58311611} λ = 1.58311611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55857241734689))-π/2
    2×atan(4.75203248139266)-π/2
    2×1.36338632418815-π/2
    2.72677264837631-1.57079632675     		φ = 1.15597632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58311611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.705872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15597632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.232564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98561 KachelY 33023 1.58311611 1.15597632 90.705872 66.232564
    Oben rechts KachelX + 1 98562 KachelY 33023 1.58316405 1.15597632 90.708618 66.232564
    Unten links KachelX 98561 KachelY + 1 33024 1.58311611 1.15595700 90.705872 66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 98562 KachelY + 1 33024 1.58316405 1.15595700 90.708618 66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15597632-1.15595700) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15597632-1.15595700) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58311611-1.58316405) × cos(1.15597632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403025209135764 × 6371000     		do = 123.094272738865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58311611-1.58316405) × cos(1.15595700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 123.099673085569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15597632)-sin(1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403025209135764-0.403042890509652)×R²
    abs(1.58316405-1.58311611)×1.76813738877457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76813738877457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76813738877457e-05×40589641000000     		ar = 15151.7257351867m²