Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98576 / 33040
↖ ↑ ↗
← N 66.213739°
E 90.747070°		 ← 123.19 m → N 66.213739°
E 90.749817°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 66.212632°
E 90.747070°		 ← 123.19 m →
15 171 m²		 N 66.212632°
E 90.749817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752079010009766 y=0.252079010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752079010009766 × 217)
    floor (0.752079010009766 × 131072)
    floor (98576.5)     		tx = 98576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252079010009766 × 217)
    floor (0.252079010009766 × 131072)
    floor (33040.5)     		ty = 33040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98576 / 33040 ti = "17/98576/33040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98576/33040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98576 ÷ 217
    98576 ÷ 131072     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33040 ÷ 217
    33040 ÷ 131072     		y = 0.2520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2520751953125 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55775749005334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55775749005334))-π/2
    2×atan(4.74816149792305)-π/2
    2×1.36322204481706-π/2
    2.72644408963412-1.57079632675     		φ = 1.15564776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15564776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.213739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98576 KachelY 33040 1.58383516 1.15564776 90.747070 66.213739
    Oben rechts KachelX + 1 98577 KachelY 33040 1.58388310 1.15564776 90.749817 66.213739
    Unten links KachelX 98576 KachelY + 1 33041 1.58383516 1.15562843 90.747070 66.212632
    Unten rechts KachelX + 1 98577 KachelY + 1 33041 1.58388310 1.15562843 90.749817 66.212632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15564776-1.15562843) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15564776-1.15562843) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58388310) × cos(1.15564776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403325881834197 × 6371000     		do = 123.186105920282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58388310) × cos(1.15562843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403343569799246 × 6371000     		du = 123.191508280095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15564776)-sin(1.15562843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403325881834197-0.403343569799246)×R²
    abs(1.58388310-1.58383516)×1.76879650484185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76879650484185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76879650484185e-05×40589641000000     		ar = 15170.8777548678m²