Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98688 / 32640
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
E 91.054688°		 ← 121.01 m → N 66.652977°
E 91.057434°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
N 66.651889°
E 91.054688°		 ← 121.02 m →
14 649 m²		 N 66.651889°
E 91.057434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752933502197266 y=0.249027252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752933502197266 × 217)
    floor (0.752933502197266 × 131072)
    floor (98688.5)     		tx = 98688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249027252197266 × 217)
    floor (0.249027252197266 × 131072)
    floor (32640.5)     		ty = 32640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98688 / 32640 ti = "17/98688/32640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98688/32640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98688 ÷ 217
    98688 ÷ 131072     		x = 0.7529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32640 ÷ 217
    32640 ÷ 131072     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58920410} λ = 1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98688 KachelY 32640 1.58920410 1.16331391 91.054688 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 98689 KachelY 32640 1.58925203 1.16331391 91.057434 66.652977
    Unten links KachelX 98688 KachelY + 1 32641 1.58920410 1.16329491 91.054688 66.651889
    Unten rechts KachelX + 1 98689 KachelY + 1 32641 1.58925203 1.16329491 91.057434 66.651889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16329491) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16329491) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58920410-1.58925203) × cos(1.16331391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 121.014709635197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58920410-1.58925203) × cos(1.16329491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396316583441726 × 6371000     		du = 121.020036442504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16329491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396316583441726)×R²
    abs(1.58925203-1.58920410)×1.74442359684446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74442359684446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74442359684446e-05×40589641000000     		ar = 14649.03198939m²