Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98815 / 33281
↖ ↑ ↗
← N 65.945352°
E 91.403503°		 ← 124.49 m → N 65.945352°
E 91.406250°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 65.944233°
E 91.403503°		 ← 124.50 m →
15 499 m²		 N 65.944233°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753902435302734 y=0.253917694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753902435302734 × 217)
    floor (0.753902435302734 × 131072)
    floor (98815.5)     		tx = 98815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253917694091797 × 217)
    floor (0.253917694091797 × 131072)
    floor (33281.5)     		ty = 33281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98815 / 33281 ti = "17/98815/33281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98815/33281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98815 ÷ 217
    98815 ÷ 131072     		x = 0.753898620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33281 ÷ 217
    33281 ÷ 131072     		y = 0.253913879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753898620605469 × 2 - 1) × π
    0.507797241210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.59529208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253913879394531 × 2 - 1) × π
    0.492172241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.54620469724491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59529208} λ = 1.59529208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54620469724491))-π/2
    2×atan(4.69362261670772)-π/2
    2×1.36087992515934-π/2
    2.72175985031867-1.57079632675     		φ = 1.15096352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59529208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.403503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15096352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.945352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98815 KachelY 33281 1.59529208 1.15096352 91.403503 65.945352
    Oben rechts KachelX + 1 98816 KachelY 33281 1.59534002 1.15096352 91.406250 65.945352
    Unten links KachelX 98815 KachelY + 1 33282 1.59529208 1.15094398 91.403503 65.944233
    Unten rechts KachelX + 1 98816 KachelY + 1 33282 1.59534002 1.15094398 91.406250 65.944233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15096352-1.15094398) × R
    1.9539999999818e-05 × 6371000     		dl = 124.489339998841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15096352-1.15094398) × R
    1.9539999999818e-05 × 6371000     		dr = 124.489339998841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59529208-1.59534002) × cos(1.15096352) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407607785094627 × 6371000     		do = 124.493909392782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59529208-1.59534002) × cos(1.15094398) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.40762562810659 × 6371000     		du = 124.499359107915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15096352)-sin(1.15094398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407607785094627-0.40762562810659)×R²
    abs(1.59534002-1.59529208)×1.78430119634476e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78430119634476e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78430119634476e-05×40589641000000     		ar = 15498.5038304492m²