Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98818 / 33282
↖ ↑ ↗
← N 65.944233°
E 91.411743°		 ← 124.50 m → N 65.944233°
E 91.414490°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 65.943113°
E 91.411743°		 ← 124.50 m →
15 499 m²		 N 65.943113°
E 91.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753925323486328 y=0.253925323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753925323486328 × 217)
    floor (0.753925323486328 × 131072)
    floor (98818.5)     		tx = 98818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253925323486328 × 217)
    floor (0.253925323486328 × 131072)
    floor (33282.5)     		ty = 33282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98818 / 33282 ti = "17/98818/33282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98818/33282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98818 ÷ 217
    98818 ÷ 131072     		x = 0.753921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33282 ÷ 217
    33282 ÷ 131072     		y = 0.253921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753921508789062 × 2 - 1) × π
    0.507843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59543589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253921508789062 × 2 - 1) × π
    0.492156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54615676034529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59543589} λ = 1.59543589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54615676034529))-π/2
    2×atan(4.69339762438425)-π/2
    2×1.36087015521884-π/2
    2.72174031043768-1.57079632675     		φ = 1.15094398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59543589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15094398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.944233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98818 KachelY 33282 1.59543589 1.15094398 91.411743 65.944233
    Oben rechts KachelX + 1 98819 KachelY 33282 1.59548383 1.15094398 91.414490 65.944233
    Unten links KachelX 98818 KachelY + 1 33283 1.59543589 1.15092444 91.411743 65.943113
    Unten rechts KachelX + 1 98819 KachelY + 1 33283 1.59548383 1.15092444 91.414490 65.943113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15094398-1.15092444) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15094398-1.15092444) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59543589-1.59548383) × cos(1.15094398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40762562810659 × 6371000     		do = 124.499359107338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59543589-1.59548383) × cos(1.15092444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407643470962917 × 6371000     		du = 124.504808774936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15094398)-sin(1.15092444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40762562810659-0.407643470962917)×R²
    abs(1.59548383-1.59543589)×1.7842856327499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7842856327499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7842856327499e-05×40589641000000     		ar = 15499.1822589828m²