Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98880 / 98880
↖ ↑ ↗
← S 67.135829°
E 91.582031°		 ← 118.67 m → S 67.135829°
E 91.584778°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.136896°
E 91.582031°		 ← 118.67 m →
14 078 m²		 S 67.136896°
E 91.584778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754398345947266 y=0.754398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754398345947266 × 217)
    floor (0.754398345947266 × 131072)
    floor (98880.5)     		tx = 98880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754398345947266 × 217)
    floor (0.754398345947266 × 131072)
    floor (98880.5)     		ty = 98880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98880 / 98880 ti = "17/98880/98880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98880/98880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98880 ÷ 217
    98880 ÷ 131072     		x = 0.75439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98880 ÷ 217
    98880 ÷ 131072     		y = 0.75439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75439453125 × 2 - 1) × π
    0.5087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59840798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75439453125 × 2 - 1) × π
    -0.5087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59840798093115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59840798} λ = 1.59840798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59840798093115))-π/2
    2×atan(0.202218197092924)-π/2
    2×0.199527528990831-π/2
    0.399055057981662-1.57079632675     		φ = -1.17174127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59840798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17174127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.135829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98880 KachelY 98880 1.59840798 -1.17174127 91.582031 -67.135829
    Oben rechts KachelX + 1 98881 KachelY 98880 1.59845592 -1.17174127 91.584778 -67.135829
    Unten links KachelX 98880 KachelY + 1 98881 1.59840798 -1.17175989 91.582031 -67.136896
    Unten rechts KachelX + 1 98881 KachelY + 1 98881 1.59845592 -1.17175989 91.584778 -67.136896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17174127--1.17175989) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dl = 118.628019999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17174127--1.17175989) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dr = 118.628019999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59840798-1.59845592) × cos(-1.17174127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388547818251162 × 6371000     		do = 118.672504914669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59840798-1.59845592) × cos(-1.17175989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388530661184003 × 6371000     		du = 118.667264704736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17174127)-sin(-1.17175989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388547818251162-0.388530661184003)×R²
    abs(1.59845592-1.59840798)×1.7157067159379e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7157067159379e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7157067159379e-05×40589641000000     		ar = 14077.5734688505m²