Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 99 / 157
↖ ↑ ↗
← S 37.718590°
W 40.781250°		 ← 123.691 km → S 37.718590°
W 39.375000°		 →
↑
122.759 km
↓
↑
122.759 km
↓
S 38.822591°
W 40.781250°		 ← 121.825 km →
15 070.1 km²		 S 38.822591°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388671875 y=0.615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388671875 × 28)
    floor (0.388671875 × 256)
    floor (99.5)     		tx = 99
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615234375 × 28)
    floor (0.615234375 × 256)
    floor (157.5)     		ty = 157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 99 / 157 ti = "8/99/157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/99/157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99 ÷ 28
    99 ÷ 256     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 157 ÷ 28
    157 ÷ 256     		y = 0.61328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61328125 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711767085558594))-π/2
    2×atan(0.49077618724969)-π/2
    2×0.456241368209298-π/2
    0.912482736418596-1.57079632675     		φ = -0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99 KachelY 157 -0.71176709 -0.65831359 -40.781250 -37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 100 KachelY 157 -0.68722339 -0.65831359 -39.375000 -37.718590
    Unten links KachelX 99 KachelY + 1 158 -0.71176709 -0.67758204 -40.781250 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 100 KachelY + 1 158 -0.68722339 -0.67758204 -39.375000 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65831359--0.67758204) × R
    0.01926845 × 6371000     		dl = 122759.29495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65831359--0.67758204) × R
    0.01926845 × 6371000     		dr = 122759.29495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.68722339) × cos(-0.65831359) × R
    0.0245437000000001 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 123690.939720582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.68722339) × cos(-0.67758204) × R
    0.0245437000000001 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 121824.808548241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65831359)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.68722339--0.71176709)×0.0119342334377843×R²
    0.0245437000000001×0.0119342334377843×6371000²
    0.0245437000000001×0.0119342334377843×40589641000000     		ar = 15070136342.6216m²