Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99072 / 99072
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 92.109375°		 ← 117.65 m → S 67.339861°
E 92.112121°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
S 67.340919°
E 92.109375°		 ← 117.64 m →
13 843 m²		 S 67.340919°
E 92.112121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755863189697266 y=0.755863189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755863189697266 × 217)
    floor (0.755863189697266 × 131072)
    floor (99072.5)     		tx = 99072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755863189697266 × 217)
    floor (0.755863189697266 × 131072)
    floor (99072.5)     		ty = 99072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99072 / 99072 ti = "17/99072/99072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99072/99072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99072 ÷ 217
    99072 ÷ 131072     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99072 ÷ 217
    99072 ÷ 131072     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99072 KachelY 99072 1.60761187 -1.17530229 92.109375 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 99073 KachelY 99072 1.60765980 -1.17530229 92.112121 -67.339861
    Unten links KachelX 99072 KachelY + 1 99073 1.60761187 -1.17532076 92.109375 -67.340919
    Unten rechts KachelX + 1 99073 KachelY + 1 99073 1.60765980 -1.17532076 92.112121 -67.340919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17532076) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dl = 117.672369999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17532076) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dr = 117.672369999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60765980) × cos(-1.17530229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 117.64503868379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60765980) × cos(-1.17532076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385247091794678 × 6371000     		du = 117.639834002091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17532076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.385247091794678)×R²
    abs(1.60765980-1.60761187)×1.70442988564057e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70442988564057e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70442988564057e-05×40589641000000     		ar = 13843.2642971612m²