Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 991 / 1121
↖ ↑ ↗
← S 16.804541°
W  5.800781°		 ← 18.711 km → S 16.804541°
W  5.625000°		 →
↑
18.703 km
↓
↑
18.703 km
↓
S 16.972741°
W  5.800781°		 ← 18.695 km →
349.801 km²		 S 16.972741°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484130859375 y=0.547607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484130859375 × 211)
    floor (0.484130859375 × 2048)
    floor (991.5)     		tx = 991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547607421875 × 211)
    floor (0.547607421875 × 2048)
    floor (1121.5)     		ty = 1121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 991 / 1121 ti = "11/991/1121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/991/1121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 991 ÷ 211
    991 ÷ 2048     		x = 0.48388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1121 ÷ 211
    1121 ÷ 2048     		y = 0.54736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.297592272841309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10124273} λ = -0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.297592272841309))-π/2
    2×atan(0.742604057872929)-π/2
    2×0.638750877866758-π/2
    1.27750175573352-1.57079632675     		φ = -0.29329457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29329457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.804541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 991 KachelY 1121 -0.10124273 -0.29329457 -5.800781 -16.804541
    Oben rechts KachelX + 1 992 KachelY 1121 -0.09817477 -0.29329457 -5.625000 -16.804541
    Unten links KachelX 991 KachelY + 1 1122 -0.10124273 -0.29623021 -5.800781 -16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 992 KachelY + 1 1122 -0.09817477 -0.29623021 -5.625000 -16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29329457--0.29623021) × R
    0.00293564000000002 × 6371000     		dl = 18702.9624400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29329457--0.29623021) × R
    0.00293564000000002 × 6371000     		dr = 18702.9624400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10124273--0.09817477) × cos(-0.29329457) × R
    0.00306796000000001 × 0.95729658711815 × 6371000     		do = 18711.293397971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10124273--0.09817477) × cos(-0.29623021) × R
    0.00306796000000001 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 18694.6238141697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29329457)-sin(-0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95729658711815-0.956443747320158)×R²
    abs(-0.09817477--0.10124273)×0.000852839797991223×R²
    0.00306796000000001×0.000852839797991223×6371000²
    0.00306796000000001×0.000852839797991223×40589641000000     		ar = 349800983.541137m²