Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 992 / 1504
↖ ↑ ↗
← S 64.168107°
W  5.625000°		 ← 8 516.81 m → S 64.168107°
W  5.449219°		 →
↑
8 505.09 m
↓
↑
8 505.09 m
↓
S 64.244595°
W  5.625000°		 ← 8 493.32 m →
72 336 368 m²		 S 64.244595°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484619140625 y=0.734619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484619140625 × 211)
    floor (0.484619140625 × 2048)
    floor (992.5)     		tx = 992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734619140625 × 211)
    floor (0.734619140625 × 2048)
    floor (1504.5)     		ty = 1504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 992 / 1504 ti = "11/992/1504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/992/1504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 992 ÷ 211
    992 ÷ 2048     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1504 ÷ 211
    1504 ÷ 2048     		y = 0.734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734375 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47262155632813))-π/2
    2×atan(0.229323511974136)-π/2
    2×0.2254257933358-π/2
    0.4508515866716-1.57079632675     		φ = -1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 992 KachelY 1504 -0.09817477 -1.11994474 -5.625000 -64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 993 KachelY 1504 -0.09510681 -1.11994474 -5.449219 -64.168107
    Unten links KachelX 992 KachelY + 1 1505 -0.09817477 -1.12127971 -5.625000 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 993 KachelY + 1 1505 -0.09510681 -1.12127971 -5.449219 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11994474--1.12127971) × R
    0.00133497000000005 × 6371000     		dl = 8505.0938700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11994474--1.12127971) × R
    0.00133497000000005 × 6371000     		dr = 8505.0938700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09510681) × cos(-1.11994474) × R
    0.00306795999999999 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 8516.80959612277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09510681) × cos(-1.12127971) × R
    0.00306795999999999 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 8493.31606238126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11994474)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.434530222304944)×R²
    abs(-0.09510681--0.09817477)×0.00120196285696261×R²
    0.00306795999999999×0.00120196285696261×6371000²
    0.00306795999999999×0.00120196285696261×40589641000000     		ar = 72336368.4758655m²