Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99327 / 99329
↖ ↑ ↗
← S 67.610267°
E 92.809754°		 ← 116.31 m → S 67.610267°
E 92.812500°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.611313°
E 92.809754°		 ← 116.31 m →
13 531 m²		 S 67.611313°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757808685302734 y=0.757823944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757808685302734 × 217)
    floor (0.757808685302734 × 131072)
    floor (99327.5)     		tx = 99327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757823944091797 × 217)
    floor (0.757823944091797 × 131072)
    floor (99329.5)     		ty = 99329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99327 / 99329 ti = "17/99327/99329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99327/99329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99327 ÷ 217
    99327 ÷ 131072     		x = 0.757804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99329 ÷ 217
    99329 ÷ 131072     		y = 0.757820129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757804870605469 × 2 - 1) × π
    0.515609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.61983578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757820129394531 × 2 - 1) × π
    -0.515640258789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61993164886056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61983578} λ = 1.61983578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61993164886056))-π/2
    2×atan(0.197912226147481)-π/2
    2×0.195387281376819-π/2
    0.390774562753638-1.57079632675     		φ = -1.18002176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61983578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.809754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18002176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.610267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99327 KachelY 99329 1.61983578 -1.18002176 92.809754 -67.610267
    Oben rechts KachelX + 1 99328 KachelY 99329 1.61988371 -1.18002176 92.812500 -67.610267
    Unten links KachelX 99327 KachelY + 1 99330 1.61983578 -1.18004002 92.809754 -67.611313
    Unten rechts KachelX + 1 99328 KachelY + 1 99330 1.61988371 -1.18004002 92.812500 -67.611313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18002176--1.18004002) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18002176--1.18004002) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61983578-1.61988371) × cos(-1.18002176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38090470484987 × 6371000     		do = 116.313833909578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61983578-1.61988371) × cos(-1.18004002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		du = 116.308678323442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18002176)-sin(-1.18004002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38090470484987-0.38088782132923)×R²
    abs(1.61988371-1.61983578)×1.68835206394991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68835206394991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68835206394991e-05×40589641000000     		ar = 13531.0071726166m²