Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99329 / 33793
↖ ↑ ↗
← N 65.365692°
E 92.815247°		 ← 127.31 m → N 65.365692°
E 92.817993°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 65.364547°
E 92.815247°		 ← 127.31 m →
16 206 m²		 N 65.364547°
E 92.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757823944091797 y=0.257823944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757823944091797 × 217)
    floor (0.757823944091797 × 131072)
    floor (99329.5)     		tx = 99329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257823944091797 × 217)
    floor (0.257823944091797 × 131072)
    floor (33793.5)     		ty = 33793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99329 / 33793 ti = "17/99329/33793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99329/33793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99329 ÷ 217
    99329 ÷ 131072     		x = 0.757820129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33793 ÷ 217
    33793 ÷ 131072     		y = 0.257820129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757820129394531 × 2 - 1) × π
    0.515640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.61993165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257820129394531 × 2 - 1) × π
    0.484359741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.52166100463944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61993165} λ = 1.61993165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52166100463944))-π/2
    2×atan(4.57982599313672)-π/2
    2×1.35582143564527-π/2
    2.71164287129054-1.57079632675     		φ = 1.14084654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61993165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.815247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14084654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.365692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99329 KachelY 33793 1.61993165 1.14084654 92.815247 65.365692
    Oben rechts KachelX + 1 99330 KachelY 33793 1.61997959 1.14084654 92.817993 65.365692
    Unten links KachelX 99329 KachelY + 1 33794 1.61993165 1.14082656 92.815247 65.364547
    Unten rechts KachelX + 1 99330 KachelY + 1 33794 1.61997959 1.14082656 92.817993 65.364547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14084654-1.14082656) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14084654-1.14082656) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61993165-1.61997959) × cos(1.14084654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416825159820068 × 6371000     		do = 127.309132888579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61993165-1.61997959) × cos(1.14082656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416843321290753 × 6371000     		du = 127.314679869203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14084654)-sin(1.14082656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416825159820068-0.416843321290753)×R²
    abs(1.61997959-1.61993165)×1.81614706857847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81614706857847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81614706857847e-05×40589641000000     		ar = 16205.8610282477m²