Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99344 / 33808
↖ ↑ ↗
← N 65.348514°
E 92.856445°		 ← 127.39 m → N 65.348514°
E 92.859192°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 65.347368°
E 92.856445°		 ← 127.40 m →
16 233 m²		 N 65.347368°
E 92.859192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757938385009766 y=0.257938385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757938385009766 × 217)
    floor (0.757938385009766 × 131072)
    floor (99344.5)     		tx = 99344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257938385009766 × 217)
    floor (0.257938385009766 × 131072)
    floor (33808.5)     		ty = 33808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99344 / 33808 ti = "17/99344/33808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99344/33808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99344 ÷ 217
    99344 ÷ 131072     		x = 0.7579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33808 ÷ 217
    33808 ÷ 131072     		y = 0.2579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7579345703125 × 2 - 1) × π
    0.515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62065070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2579345703125 × 2 - 1) × π
    0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62065070} λ = 1.62065070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52094195114514))-π/2
    2×atan(4.57653403694121)-π/2
    2×1.35567152686954-π/2
    2.71134305373908-1.57079632675     		φ = 1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62065070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99344 KachelY 33808 1.62065070 1.14054673 92.856445 65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 99345 KachelY 33808 1.62069864 1.14054673 92.859192 65.348514
    Unten links KachelX 99344 KachelY + 1 33809 1.62065070 1.14052673 92.856445 65.347368
    Unten rechts KachelX + 1 99345 KachelY + 1 33809 1.62069864 1.14052673 92.859192 65.347368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14054673-1.14052673) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14054673-1.14052673) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62065070-1.62069864) × cos(1.14054673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 127.392362795272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62065070-1.62069864) × cos(1.14052673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417115841529434 × 6371000     		du = 127.397914564766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14054673)-sin(1.14052673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.417115841529434)×R²
    abs(1.62069864-1.62065070)×1.81771500142869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81771500142869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81771500142869e-05×40589641000000     		ar = 16232.6885714353m²