Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9984 / 15104
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 39.375000°		 ← 343.28 m → S 81.923187°
E 39.396973°		 →
↑
343.21 m
↓
↑
343.21 m
↓
S 81.926273°
E 39.375000°		 ← 343.15 m →
117 794 m²		 S 81.926273°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609405517578125 y=0.921905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609405517578125 × 214)
    floor (0.609405517578125 × 16384)
    floor (9984.5)     		tx = 9984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.921905517578125 × 214)
    floor (0.921905517578125 × 16384)
    floor (15104.5)     		ty = 15104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9984 / 15104 ti = "14/9984/15104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9984/15104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9984 ÷ 214
    9984 ÷ 16384     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15104 ÷ 214
    15104 ÷ 16384     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9984 KachelY 15104 0.68722339 -1.42982934 39.375000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 9985 KachelY 15104 0.68760689 -1.42982934 39.396973 -81.923187
    Unten links KachelX 9984 KachelY + 1 15105 0.68722339 -1.42988321 39.375000 -81.926273
    Unten rechts KachelX + 1 9985 KachelY + 1 15105 0.68760689 -1.42988321 39.396973 -81.926273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.42988321) × R
    5.38700000001224e-05 × 6371000     		dl = 343.20577000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.42988321) × R
    5.38700000001224e-05 × 6371000     		dr = 343.20577000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(-1.42982934) × R
    0.000383499999999981 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 343.282034249017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(-1.42988321) × R
    0.000383499999999981 × 0.140447239201021 × 6371000     		du = 343.151719924194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.42988321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140447239201021)×R²
    abs(0.68760689-0.68722339)×5.3335845595498e-05×R²
    0.000383499999999981×5.3335845595498e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.3335845595498e-05×40589641000000     		ar = 117794.012605616m²