Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9984 / 1791
↖ ↑ ↗
← N 80.182461°
E 39.375000°		 ← 416.61 m → N 80.182461°
E 39.396973°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
N 80.178713°
E 39.375000°		 ← 416.76 m →
173 617 m²		 N 80.178713°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609405517578125 y=0.109344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609405517578125 × 214)
    floor (0.609405517578125 × 16384)
    floor (9984.5)     		tx = 9984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109344482421875 × 214)
    floor (0.109344482421875 × 16384)
    floor (1791.5)     		ty = 1791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9984 / 1791 ti = "14/9984/1791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9984/1791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9984 ÷ 214
    9984 ÷ 16384     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1791 ÷ 214
    1791 ÷ 16384     		y = 0.10931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10931396484375 × 2 - 1) × π
    0.7813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45475275574384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45475275574384))-π/2
    2×atan(11.643554391022)-π/2
    2×1.48512213493268-π/2
    2.97024426986536-1.57079632675     		φ = 1.39944794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39944794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.182461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9984 KachelY 1791 0.68722339 1.39944794 39.375000 80.182461
    Oben rechts KachelX + 1 9985 KachelY 1791 0.68760689 1.39944794 39.396973 80.182461
    Unten links KachelX 9984 KachelY + 1 1792 0.68722339 1.39938254 39.375000 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 9985 KachelY + 1 1792 0.68760689 1.39938254 39.396973 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39944794-1.39938254) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39944794-1.39938254) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(1.39944794) × R
    0.000383499999999981 × 0.170511144350081 × 6371000     		do = 416.60621300093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(1.39938254) × R
    0.000383499999999981 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 416.763662512646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39944794)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170511144350081-0.170575586251288)×R²
    abs(0.68760689-0.68722339)×6.44419012061359e-05×R²
    0.000383499999999981×6.44419012061359e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.44419012061359e-05×40589641000000     		ar = 173617.362957503m²