Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9984 / 2816
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 39.375000°		 ← 611.87 m → N 75.497157°
E 39.396973°		 →
↑
611.93 m
↓
↑
611.93 m
↓
N 75.491654°
E 39.375000°		 ← 612.09 m →
374 491 m²		 N 75.491654°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609405517578125 y=0.171905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609405517578125 × 214)
    floor (0.609405517578125 × 16384)
    floor (9984.5)     		tx = 9984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171905517578125 × 214)
    floor (0.171905517578125 × 16384)
    floor (2816.5)     		ty = 2816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9984 / 2816 ti = "14/9984/2816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9984/2816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9984 ÷ 214
    9984 ÷ 16384     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2816 ÷ 214
    2816 ÷ 16384     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9984 KachelY 2816 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 9985 KachelY 2816 0.68760689 1.31767397 39.396973 75.497157
    Unten links KachelX 9984 KachelY + 1 2817 0.68722339 1.31757792 39.375000 75.491654
    Unten rechts KachelX + 1 9985 KachelY + 1 2817 0.68760689 1.31757792 39.396973 75.491654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31757792) × R
    9.60500000000142e-05 × 6371000     		dl = 611.93455000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31757792) × R
    9.60500000000142e-05 × 6371000     		dr = 611.93455000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(1.31767397) × R
    0.000383499999999981 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 611.865442603797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68760689) × cos(1.31757792) × R
    0.000383499999999981 × 0.250521026871225 × 6371000     		du = 612.092638752355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31757792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250521026871225)×R²
    abs(0.68760689-0.68722339)×9.29882322288633e-05×R²
    0.000383499999999981×9.29882322288633e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.29882322288633e-05×40589641000000     		ar = 374491.119154467m²