Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9986 / 1794
↖ ↑ ↗
← N 80.171215°
E 39.418945°		 ← 417.08 m → N 80.171215°
E 39.440918°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
N 80.167463°
E 39.418945°		 ← 417.24 m →
174 027 m²		 N 80.167463°
E 39.440918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609527587890625 y=0.109527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609527587890625 × 214)
    floor (0.609527587890625 × 16384)
    floor (9986.5)     		tx = 9986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109527587890625 × 214)
    floor (0.109527587890625 × 16384)
    floor (1794.5)     		ty = 1794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9986 / 1794 ti = "14/9986/1794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9986/1794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9986 ÷ 214
    9986 ÷ 16384     		x = 0.6094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1794 ÷ 214
    1794 ÷ 16384     		y = 0.1094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1094970703125 × 2 - 1) × π
    0.781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45360227015295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68799038} λ = 0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45360227015295))-π/2
    2×atan(11.630166352318)-π/2
    2×1.48502399401011-π/2
    2.97004798802022-1.57079632675     		φ = 1.39925166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39925166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.171215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9986 KachelY 1794 0.68799038 1.39925166 39.418945 80.171215
    Oben rechts KachelX + 1 9987 KachelY 1794 0.68837388 1.39925166 39.440918 80.171215
    Unten links KachelX 9986 KachelY + 1 1795 0.68799038 1.39918618 39.418945 80.167463
    Unten rechts KachelX + 1 9987 KachelY + 1 1795 0.68837388 1.39918618 39.440918 80.167463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39925166-1.39918618) × R
    6.54799999999511e-05 × 6371000     		dl = 417.173079999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39925166-1.39918618) × R
    6.54799999999511e-05 × 6371000     		dr = 417.173079999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68799038-0.68837388) × cos(1.39925166) × R
    0.000383499999999981 × 0.170704546690468 × 6371000     		do = 417.078748781047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68799038-0.68837388) × cos(1.39918618) × R
    0.000383499999999981 × 0.170769065226104 × 6371000     		du = 417.236385532017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39925166)-sin(1.39918618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170704546690468-0.170769065226104)×R²
    abs(0.68837388-0.68799038)×6.45185356357436e-05×R²
    0.000383499999999981×6.45185356357436e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.45185356357436e-05×40589641000000     		ar = 174026.907198132m²