Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9988 / 1796
↖ ↑ ↗
← N 80.163710°
E 39.462890°		 ← 417.39 m → N 80.163710°
E 39.484863°		 →
↑
417.43 m
↓
↑
417.43 m
↓
N 80.159956°
E 39.462890°		 ← 417.55 m →
174 265 m²		 N 80.159956°
E 39.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609649658203125 y=0.109649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609649658203125 × 214)
    floor (0.609649658203125 × 16384)
    floor (9988.5)     		tx = 9988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109649658203125 × 214)
    floor (0.109649658203125 × 16384)
    floor (1796.5)     		ty = 1796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9988 / 1796 ti = "14/9988/1796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9988/1796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9988 ÷ 214
    9988 ÷ 16384     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1796 ÷ 214
    1796 ÷ 16384     		y = 0.109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45283527975903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45283527975903))-π/2
    2×atan(11.6212495464354)-π/2
    2×1.48495850489399-π/2
    2.96991700978798-1.57079632675     		φ = 1.39912068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39912068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.163710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9988 KachelY 1796 0.68875737 1.39912068 39.462890 80.163710
    Oben rechts KachelX + 1 9989 KachelY 1796 0.68914087 1.39912068 39.484863 80.163710
    Unten links KachelX 9988 KachelY + 1 1797 0.68875737 1.39905516 39.462890 80.159956
    Unten rechts KachelX + 1 9989 KachelY + 1 1797 0.68914087 1.39905516 39.484863 80.159956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39912068-1.39905516) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dl = 417.427919999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39912068-1.39905516) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dr = 417.427919999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68914087) × cos(1.39912068) × R
    0.000383499999999981 × 0.170833602735543 × 6371000     		do = 417.394068641273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68914087) × cos(1.39905516) × R
    0.000383499999999981 × 0.170898159217837 × 6371000     		du = 417.551798106498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39912068)-sin(1.39905516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170833602735543-0.170898159217837)×R²
    abs(0.68914087-0.68875737)×6.45564822941147e-05×R²
    0.000383499999999981×6.45564822941147e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.45564822941147e-05×40589641000000     		ar = 174264.8582964m²