Genauigkeiten prüfen

LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029
1,111111111 1,932807053
y/360*400000000m x/360*40000000*COS(53,141799/180*PI())

Hier die abgeschätzten Genauigkeitswerte mit den Formeln: /360 grad * Erdumfang

Wenn du nur die Entfernung zu deinen Punkten suchst findes du im Internet genug Online Rechner. Z.B den hier oder den hier

Wenn du es wirklich selber berechnen möchtest findes du z.B. hier mehr Informationen. Bei solch kurzen Strecken sollte der Satz des Pythagoras ausreichend sein. Ansonsten wird es ganz schön aufwenig wie ich finde.

MiaKai wrote:

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.

In den letzten Wochen habe ich an verschiedenen Tagen Punkte aufgenommen, diese habe ich nun alle addiert und den Mittelwert daraus errechnet.

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Chris

MiaKai wrote:

Koordinaten der Festpu~nkte:

LATITUDE LONGITUDE
53,141798 8,199610

Differenz:
LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029

Die Koordinaten befinden sich im WSG_84 System und sind in Dezimalgrad angegeben.

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?

Die Distanz in der Breite (Lat) verläuft auf einem Meridian: einem Kreis, der über beide Pole einmal um die Welt führt. Einmal im Kreis herum sind 360°, einmal um die Welt sind ca. 40.000km, also 40.000.000m.

360°␣~␣40.000.000m.
1°␣~␣40.000.000m␣/␣360
x°␣~␣x␣*␣40.000.000␣/␣360␣=␣x␣*␣111.111
→
Dein␣Y-Abstand␣ist␣111.111m␣*␣0.000001␣=␣0.1␣=␣10cm

Die Distanz in der Länge führt auf einem Kleinkreis auf konstantem Abstand zum Äquator um die Erde. Der Weg über den Äquator um die Erde ist so groß wie der über Pole und Meridian (die Abplattung der Erde interessiert bei der hier geforderten Genauigkeit nicht), also 1°~ 40.000.000m / 360 = 111.111m.
Zu den Polen hin werden die Kleinkreise aber kleiner (sieht man unmittelbar, wenn man sich einen Globus vorstellt). Der Faktor ist der Cosinus der Breite:

360°␣~␣40.000.000m␣*␣cosφ
1°␣~␣40.000.000m␣/␣360␣*␣cosφ
x°␣~␣x␣*␣40.000.000␣/␣360␣=␣x␣*␣111.111␣*␣cosφ
→
Dein␣X-Abstand␣ist␣111.111m␣*␣0.000029␣*␣cos␣53.1°␣=␣3.22m␣*␣cos53.1°␣=␣3.22m␣*␣0.600␣=␣1.93m

Achtung beim Berechnen des Cosinus: den Winkel kann man in Grad(DEG) oder im Bogenmaß(RAD) angeben. Taschenrechner sind meist umschaltbar. Die meisten Programmiersprachen fordern das Bogenmaß. Dem Winkel 180° entspricht das Bogenmaß π (Pi: 3.1415926…).

Der Gesamtabstand wird anschließend über den Pythagoras berechnet: c²=a²+b² → c=√(a²+b²)

Programmiert wird also etwa so:

abstand␣(deltaLat,␣deltaLon,␣lat)␣{

deltaY␣=␣111111␣*␣deltaLat;
deltaX␣=␣111111␣*␣deltaLon␣*␣cos␣(lat␣*␣3.1415926␣/␣180.0)

delta␣=␣sqrt␣(deltaX␣*␣deltaX␣+␣deltaY␣*␣deltaY)
return␣delta;
}

Dieser Rechenweg ist der Anschaulichste und bei kleinen Entfernungen genau. Mit nur wenig mehr Aufwand (aber deutlich unanschaulicher durch mehrfache Verwendung von Winkelfunktionen) bekommt man eine Funktion, die bei Vernachlässigung der Erdabplattung quer um die ganze Welt weit unter 1% Fehler liefert. Für wirklich exakte Werte gibt es leider keine geschlossene Darstellung mehr; die brauchen Iterationsverfahren oder Reihenentwicklungen.

Gruß Wolf

chris66 wrote:

MiaKai wrote:

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.
...

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Hallo Chris, Hallo Mia und herzlich willkommen im Forum

Man kann die Ergebnisse auch kurz vorwegnehmen:
- Freies Feld mit guter Rundumsicht --> guter Empfang, ca. 3m Genauigkeit
- Schmaler Waldweg an einem Hang --> schlechter Empfang (Abschattung
durch Bäume und Hang) --> kein Track gleicht dem anderen.

Erst die Tracks im Vergleich zu einem gut positioniertem Luftbild (z.B. Aerowest) zeigen eine angenäherte 'Wahrheit'.

Habe so eine GPS-Horrorstrecke vor der Haustür.
Edbert (EvanE)

chris66 wrote:

MiaKai wrote:

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.

In den letzten Wochen habe ich an verschiedenen Tagen Punkte aufgenommen, diese habe ich nun alle addiert und den Mittelwert daraus errechnet.

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Chris

• GPS tracks kann man nicht "mitteln", da man nicht weiss, ob man sich bei gleicher Zeit am gleichen Ort befunden hat. Es gehen also nur "stationaere" Punkte.
  

• JEDES Messgeraet hat neben einen statistischen Fehler auch einen systematischen. Letzgenannter kann auch durch 10000* Wiederholung nicht verkleinern, sondern nur erstgenannter.
  

• Da die Messgenauigkeit limitiert ist, darf man auch nicht die Anzahl der Stellen, die einem der Taschenrechner/Computer ausgibt, einfach uebernehmen:
  

1.Messung 3.0
2. Messung 3.0
3. Messung 4.0
Mitnichten ist das Ergebnis 3.333333333 (whatever Einheiten).

Die Krux bei der ganzen Messerei ist nun, dass man den systematischen Fehler oftmals nicht mit hinreichender Genauigkeit kennt und daher abschaetzen muss.
Netzwolf schoene Rechnung ist leider voellig fuer die Katz, da schon von falschen Annahmen ausgegangen wird, naemlich die Messwerte laegen in einer "cm-Genauigkeit" vor, was fuer (Consumer-)GPS-geraete voellig illusorisch ist ...

Mein Senf (2. Teil 😉
Dass sich der Mittelwert bei nur 3 Messungen dem wahren Wert annähert (was er tatsächlich bei unendlichfacher Wiederholung tut)
ist nicht sehr wahrscheinlich.
Dass Dein Mittelwert dem Festpunktwert recht nahe liegt, ist relativ zufällig.

Bei der Faustformel "1 Grad entsprechen 100 km" sind 6 Nachkommastellen 10 cm (pi mal daumen).
Diese 10 cm als Genauigkeit halte ich bei den Festpunktwerten durchaus für wahrscheinlich.
Deine dürfte sich eher bei der Differenz der Deiner LAT/LON-Werte ("53,14174 - 53,141854" bzw. "8,199692 - 8,199570") =~ 10 m abspielen.
So dass man sagen kann, im Rahmen der Messgenauigkeit (10 m) stimmen Messung und Festpunkt überein und
so ich würde in OSM
( 53.1418; 8.1996)
angeben (aber nicht genauer!)

Meine Lieblingsseite bei solchen Themen:

http://www.kowoma.de/gps/gpsmonitor2/gpsmonitor2.html

Man beachte auch dort die Seiten über Fehlerquellen und (Genauigkeit und Präzission http://www.kowoma.de/gps/zusatzerklaeru … zision.htm)

Nahmd,

kellerma wrote:

Netzwolf schoene Rechnung ist leider voellig fuer die Katz, da schon von falschen Annahmen ausgegangen wird, naemlich die Messwerte laegen in einer "cm-Genauigkeit" vor, was fuer (Consumer-)GPS-geraete voellig illusorisch ist ...

Was ist da für die Katz? Hmpf! Also wirklich! Die Frage war:

MiaKai wrote:

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?
[…]
Vielleicht kann mir ja jemand helfen und die Rechnung darlegen.

Die Entfernung in Metern aus Koordinaten in Grad zu berechnen, ist der erste Schritt. Auf eine Seite, die das rechnet, zu verweisen, ist billig und nicht wirklich nett, insbesonders wenn um die Erklärung des Rechenweges gebeten wurde.

Ich freue mich über jeden, der Dinge selbst verstehen will statt irgendwo einen Knopf zu drücken oder aktuell irgendwas zu wischen. Sonst hätte ich nicht so viel getippert. Wahrscheinlich bin ich da einfach altmodisch. 🤔

Die Fehlerrechnung kommt dann als nächstes. Derer haben sich ja bereits genügend angenommen. Wobei man vielleicht noch ergänzen sollte, dass man bei der Ausgleichsrechnung nicht den Mittelwert berechnet, sondern die Methode der kleinsten Fehlerquadrate nutzt. So man das denn kann. 😛

Gruß Wolf

Netzwolf wrote:

Die Fehlerrechnung kommt dann als nächstes. Derer haben sich ja bereits genügend angenommen. Wobei man vielleicht noch ergänzen sollte, dass man bei der Ausgleichsrechnung nicht den Mittelwert berechnet, sondern die Methode der kleinsten Fehlerquadrate nutzt. So man das denn kann. 😛

Incorrect 😉

Bei der Ausgleichsrechnung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geht es darum, durch eine _Reihe_ von Messpunkten
eine Funktion zu legen, z. B. eine Ausgleichsgerade.

Hier geht es darum, aus einer "Punktwolke" (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) _einen_ Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.
Es könnte ja jemand auf die Idee kommen, z. B. den Median zu verwenden.

Wir sprechen nicht von z. B. Wärme, die hat eine andere Verteilung (Maxwell).

Vielen Dank für die ganzen Antworten!

Insbesondere an Wolf, hat mir wirklich weitergeholfen.

Grüße Mia

Nahmd,

kellerma wrote:

Hier geht es darum, aus einer "Punktwolke" (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) _einen_ Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Das ist vollkommen korrekt.

Gruß Wolf

Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Und wenn man DOP-gewichtet? Also z.B. Messwerte mit DOP < x doppelt zählt? Müsste trotzdem der Mittelwert
gleich bleiben, nur sich eben schneller approximieren, oder?

chris66 wrote:

Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Und wenn man DOP-gewichtet? Also z.B. Messwerte mit DOP < x doppelt zählt? Müsste trotzdem der Mittelwert
gleich blieben, nur sich eben schneller approximieren, oder?

Ja, die einzelnen Meßwerte kann man auch gewichten (nicht doppelt zählen). Der optimale Schätzer ist dann wiederum ein Mittelwiert,
der sog. gewichtete Mittelwert.

"schneller": Mmmh, weiss nicht; die Ermittlung der Gewichtung (hier die DOP) bedarf ja auch "Aufwand".
Ein Zitat eines Schachprogrammierers (Ed Schroeder) fällt mir hierzu ein:
"Randomness is a monster and you beat it by volume"

Netzwolf wrote:

MiaKai wrote:

Koordinaten der Festpu~nkte:

LATITUDE LONGITUDE
53,141798 8,199610

Differenz:
LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029

Die Koordinaten befinden sich im WSG_84 System und sind in Dezimalgrad angegeben.

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?

Die Distanz in der Breite (Lat) verläuft auf einem Meridian: einem Kreis, der über beide Pole einmal um die Welt führt. Einmal im Kreis herum sind 360°, einmal um die Welt sind ca. 40.000km, also 40.000.000m.

360°␣~␣40.000.000m.
1°␣~␣40.000.000m␣/␣360
x°␣~␣x␣*␣40.000.000␣/␣360␣=␣x␣*␣111.111
→
Dein␣Y-Abstand␣ist␣111.111m␣*␣0.000001␣=␣0.1␣=␣10cm

Die Distanz in der Länge führt auf einem Kleinkreis auf konstantem Abstand zum Äquator um die Erde. Der Weg über den Äquator um die Erde ist so groß wie der über Pole und Meridian (die Abplattung der Erde interessiert bei der hier geforderten Genauigkeit nicht), also 1°~ 40.000.000m / 360 = 111.111m.
Zu den Polen hin werden die Kleinkreise aber kleiner (sieht man unmittelbar, wenn man sich einen Globus vorstellt). Der Faktor ist der Cosinus der Breite:

360°␣~␣40.000.000m␣*␣cosφ
1°␣~␣40.000.000m␣/␣360␣*␣cosφ
x°␣~␣x␣*␣40.000.000␣/␣360␣=␣x␣*␣111.111␣*␣cosφ
→
Dein␣X-Abstand␣ist␣111.111m␣*␣0.000029␣*␣cos␣53.1°␣=␣3.22m␣*␣cos53.1°␣=␣3.22m␣*␣0.600␣=␣1.93m

Achtung beim Berechnen des Cosinus: den Winkel kann man in Grad(DEG) oder im Bogenmaß(RAD) angeben. Taschenrechner sind meist umschaltbar. Die meisten Programmiersprachen fordern das Bogenmaß. Dem Winkel 180° entspricht das Bogenmaß π (Pi: 3.1415926…).

Der Gesamtabstand wird anschließend über den Pythagoras berechnet: c²=a²+b² → c=√(a²+b²)

Programmiert wird also etwa so:

abstand␣(deltaLat,␣deltaLon,␣lat)␣{

deltaY␣=␣111111␣*␣deltaLat;
deltaX␣=␣111111␣*␣deltaLon␣*␣cos␣(lat␣*␣3.1415926␣/␣180.0)

delta␣=␣sqrt␣(deltaX␣*␣deltaX␣+␣deltaY␣*␣deltaY)
return␣delta;
}

Dieser Rechenweg ist der Anschaulichste und bei kleinen Entfernungen genau. Mit nur wenig mehr Aufwand (aber deutlich unanschaulicher durch mehrfache Verwendung von Winkelfunktionen) bekommt man eine Funktion, die bei Vernachlässigung der Erdabplattung quer um die ganze Welt weit unter 1% Fehler liefert. Für wirklich exakte Werte gibt es leider keine geschlossene Darstellung mehr; die brauchen Iterationsverfahren oder Reihenentwicklungen.

Gruß Wolf

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite? Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Danke und Grüße,
Mia

Nahmd,

MiaKai wrote:

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite?

Teils Schulmathematik, teils irgendwo gelesen.

Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Ist Wikipedia zitierfähig? Dann nimm die Artikel zu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bogenma%C3%9F
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel
http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Meridian_%28Geographie%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Breitenkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras#Mathematik

Gruß Wolf

MiaKai wrote:

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite? Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Hallo Mia

Vielleicht kannst du bei http://www.kowoma.de/gps/ im Bereich "Geodäsie & Karten" fündig werden.
Inwieweit (diese) Webseiten für deine Aufgabe zitierfähig ist, kannst nur du beurteilen.

Edbert (EvanE)

Immer diese Zitiererei 😉

Könnte ein bisschen kauzig rüberkommen und die Laune des Prüfers in irgendeiner Form verändern... Aber da hättest mal nen echt alten Schinken, gegen den kein Mathelehrer ankommt:

Leonard Euler, Drei Abhandlungen über Kartenprojection
Harausgegeben von A. Wangerin, Verlag W. Engelmann, Leipzig 1898.
zuerst erschienen in Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, Petersburg 1777
§3, Seite 6f

Grüße,

Max, den es immer betrübt, dass er mit dem grössten Teil seines wirklich kapierten Matheverständnisses irgendwann im 18. Jahrhundert landet...

Netzwolf wrote:

Ist Wikipedia zitierfähig?

Nee, aber "das hab ich vom Netzwolf" sollte wohl reichen.

Oli-Wan wrote:

Netzwolf wrote:

Ist Wikipedia zitierfähig?

Nee, aber "das hab ich vom Netzwolf" sollte wohl reichen.

Das kommt aufs Umfeld an. Im OSM-Umfeld reicht das sicher, in einer irgendwie gearteten Prüfung oder thesis reicht das eher nicht. Aber da gibt es ja inzwischen einige andere Vorschläge. Der Euler könnte natürlich schwierig zu beziehen sein, aber wenn man zeigen kann, daß das alles schon Jahrhunderte altes Wissen ist, spart das blöde Rückfragen von den Fachkollegen. Vor blöden Rückfragen Fachfremder und damit blöder Benotung schützt leider gar nichts, wie ich aus eigener Erfahrung weiß.

Baßtölpel

Basstoelpel wrote:

Oli-Wan wrote:

Nee, aber "das hab ich vom Netzwolf" sollte wohl reichen.

Im OSM-Umfeld reicht das sicher, in einer irgendwie gearteten Prüfung oder thesis reicht das eher nicht.

Schon klar. Ich dachte, der Witz sei auch ohne ";)" erkennbar.
Aber Netzwolf hat schon zurecht geschrieben, daß die Rechnung (im Rahmen der Kugel-Näherung) nicht mehr ist als Schulmathematik (plus das einzige, was mir aus dem Fach Erdkunde in Erinnerung geblieben ist: die Zahl 40 000 km). Außerdem hat er sie freundlicherweise schon als Dreisatz formuliert. Jenseits des Schulniveaus sollte ohnehin niemand so eine Formel nachschlagen oder auswendig lernen, sondern sie sich im Zweifelsfall mal eben selbst überlegen. Ich behaupte mal, daß Netzwolf sie ebenfalls auf die Schnelle neu konstruiert hat.

Nahmd,

maxbe wrote:

Max, den es immer betrübt, dass er mit dem grössten Teil seines wirklich kapierten Matheverständnisses irgendwann im 18. Jahrhundert landet...

Willkommen im Club. 🤔

Gruß Wolf

Nahmd,

MiaKai wrote:

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite? Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Ich habe, angeregt durch die vorhergehenden Diskussionsbeiträge, noch einmal nachgedacht.

Wieso musst Du die Information “irgendwoher haben”?

Aufgabe war:

- Du willst die Entfernung von einem Punkt A zu einem Punkt B bestimmen.
- Die Punkte A und B sind durch geographische Koordinaten auf einer Kugel bestimmt.

Schräg über eine Kugel. Davor steht man erst einmal ziemlich hilflos.

Also nutzen wir den Pythagoras, den jeder in der Schule gelernt hat. Und Pythagoras ist nicht irgendeine abstrakte Formel. Pythagoras ist Anwendung pur. Ich gehe 8m in eine Richtung, drehe mich 90° und gehe noch einmal 6m. Und Pythagoras sagt mir die Entfernung zum Ausgangspunkt: 10m. Das ist doch genial! Ich kann die Entfernung zwischen zwei Punkten bestimmen, auch wenn ein bissiger Hund auf dem Gelände dazwischen das Ausrollen des Maßbandes verhindert. (hier Cartoon zeigen)

Aber weiter im Text: wir nutzen den Pythagoras und modifizieren die Aufgabenstellung: Wir gehen von A zuerst zu einem Punkt C, wobei die Länge gleich bleibt, und dann von C nach B, wobei die Breite gleich bleibt. Das sieht doch schon ganz anders aus: wir wissen, dass wir zwei Mal auf Kreisen unterwegs sind, und wissen auch, um welchen Winkel wir uns auf dem Kreisumfang fortbewegen. (Skizze)

Also braucht es den Kreisumfang. Der ist für den Weg nach Norden über den Meridian 40.000km. Den Wert muss man nicht unbedingt kennen, den kann man nachschlagen. Der ist aber auch nett zu wissen: denn das Meter ist ursprünglich als der zehnmillionste Teil der Strecke vom Äquator zum Pol festgelegt worden im Rahmen der damaligen Messgenauigkeit. Das ganze vier Mal (Äquator→Nordpol→Äquator(Rückseite)→Südpol→Äquator) ergibt 40 Millionen Meter oder 40.000km.

Der schwierigste Punkt ist der Kleinkreis in Richtung Osten. Da hilft aber ein Blick in die Wikipedia und das, was man einmal über den Cosinus gelernt. Auch der ist Anwendung pur.

Jetzt der Dreisatz “wenn 360° 40.000km entsprechen, dann entsprechen ...”, und dann die beiden Werte per Pythagoras zusammengefügt, und fertig.

Wenn Du das durchgearbeitet und verstanden hast (Test des Verstehens: kannst Du es einem anderen erklären), so wird es *Dein* Wissen: Du kannst aus einfachen Konzepten wie Dreisatz, Kreis und Pythagoras die Lösung einer praktischen Aufgabe zusammenbauen. Kewl! 😎

Hol Deine Zuhörer bei Dreisatz, Kreis und Pythagoras ab, bau als Anekdote ein, warum die Erde so ziemlich genau 40.000.000m Umfang hat, und nimm für die Entfernung auf dem Kleinkreis die Wikipedia als Referenz. Das dürfte einen spannenden Vortrag geben. 🙂

Wobei das selber denken möglicherweise die Regeln des wissenschaftlichen Arbeiten verletzt. Anschaulichkeit wird ja im deutschsprachigen Raum eher ungern gesehen. 🤔 Ach ja, passend zum Thema habe ich gerade am Wochenende noch einen interessanten Artikel gelesen. Letzter Absatz. Aber besser ganz lesen.

Gruß Wolf

Hi,

kellerma wrote:

Bei der Ausgleichsrechnung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geht es darum, durch eine _Reihe_ von Messpunkten
eine Funktion zu legen, z. B. eine Ausgleichsgerade.

Hier geht es darum, aus einer "Punktwolke" (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) _einen_ Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Hmm. Das hört sich jetzt etwas danach an, als wäre die Methode der kleinsten Quadrate für diesen Fall unangemessen. Die Voraussetzungen für die Anwendung sind aber durchaus gegeben und man darf es also machen. Dabei kommt als Ergebnis immer das arithmetische Mittel raus 🙂

Weide

Weide wrote:

Hi,

kellerma wrote:

Bei der Ausgleichsrechnung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geht es darum, durch eine _Reihe_ von Messpunkten
eine Funktion zu legen, z. B. eine Ausgleichsgerade.

Hier geht es darum, aus einer "Punktwolke" (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) _einen_ Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Hmm. Das hört sich jetzt etwas danach an, als wäre die Methode der kleinsten Quadrate für diesen Fall unangemessen. Die Voraussetzungen für die Anwendung sind aber durchaus gegeben und man darf es also machen. Dabei kommt als Ergebnis immer das arithmetische Mittel raus 🙂

Weide

Wie willst Du, wenn Du nur einen Punkt, naemlich den Messpunkt selbst, zur Verfuegung hast, einen (arithmetischen) Mittelwert bilden?

kellerma wrote:

Wie willst Du, wenn Du nur einen Punkt, naemlich den Messpunkt selbst, zur Verfuegung hast, einen (arithmetischen) Mittelwert bilden?

Genauso wie Du ihn bilden wolltest ... aus der "Punktwolke".

Ich wollte nur anmerken, dass die Nutzung des arithmetischen Mittels sich ebenfalls aus der Methode der kleinsten Quadrate herleiten lässt. (Weil das arithmetische Mittel die Eigenschaft hat, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelwerte von ihm kleiner ist als bei jedem anderen Wert.)

MfG
Weide

Weide wrote:

kellerma wrote:

Wie willst Du, wenn Du nur einen Punkt, naemlich den Messpunkt selbst, zur Verfuegung hast, einen (arithmetischen) Mittelwert bilden?

Genauso wie Du ihn bilden wolltest ... aus der "Punktwolke".

Ich wollte nur anmerken, dass die Nutzung des arithmetischen Mittels sich ebenfalls aus der Methode der kleinsten Quadrate herleiten lässt. (Weil das arithmetische Mittel die Eigenschaft hat, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelwerte von ihm kleiner ist als bei jedem anderen Wert.)

MfG
Weide

Den arithmetischen Mittelwert gilt nur im Falle einer Ausgleichsgeraden als Modellfunktion, nicht bei höheren Polynomen.

kellerma wrote:

Den arithmetischen Mittelwert gilt nur im Falle einer Ausgleichsgeraden als Modellfunktion, nicht bei höheren Polynomen.

Das versteh ich jetzt nicht...

Ich wollte doch nur Deine Äußerung, dass bei normalverteilten Abweichungen das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer liefert, unterstützen und ergänzen, dass dies nicht etwas Anderes als die Methode der kleinsten Quadrate ist, sondern eine Konsequenz daraus. Ich mache es einfach mal, dann wird es vielleicht verständlicher.

Suchen wir mal den Wert Z für den bei n Messwerten x_i einer Größe die Summe der Quadrate der Abweichungen minimal wird.
Es geht also um Summe (x_i-Z)²
Die Ableitung davon nach Z soll also Null sein.
Also muss Summe(x_i-Z) Null sein.
Also muss Summe(x_i) - n*Z Null sein.
Also muss Z als das arithmetische Mittel sein.

Weide